Ciao, \[\int {\frac{{{e^x} - 1}}{{{e^{3x}} + 1}}dx} \]
l'integrale va risolto per sostituzione! ... tralasciando gli estremi di integrazione e occupandoci dell'integrale indefinito si avrà:
\[{e^x} = t\;\;\; \to \;\;\;d[{e^x}] = d[t]\;\;\; \to \;\;\;{e^x}dx = dt\;\;\; \to \]
\[ \to \;\;\;dx = \frac{1}{{{e^x}}}dt\;\;\; \to \;\;\;dx = \frac{1}{t}dt\]
\[\int {\frac{{{e^x} - 1}}{{{e^{3x}} + 1}}dx} = \int {\frac{{t - 1}}{{{t^3} - 1}}\frac{1}{t}dt} = \int {\frac{{t - 1}}{{t(t - 1)({t^2} + t + 1)}}dt} = \]
\[ = \int {\frac{1}{{t({t^2} + t + 1)}}dt} \]
trattandosi di un integrale di funzione razionale fratta nella variabile t andrà gestito con le solite tecniche delle funzioni razionali fratte nella casistica opportuna che nel nostro caso corrisponde a 1 fattore reale e 1 fattore complesso coniugato; pertanto applicando la solita decomposizione in fratti semplici+complesso coniugato si avrà
\[\frac{1}{{t({t^2} + t + 1)}} = \frac{a}{t} + \frac{{bt + c}}{{{t^2} + t + 1}}\]
da cui facendo i calcoli e imponendo il principio di identità dei polinomi si troveranno le costanti a,b,c e poi si integreranno i singoli pezzi ...
Alla fine, trovata la primitiva generale, si potrà procedere con l'integrazione definita sugli estremi iniziali con la solita formula di Leibniz-Newton.
Saluti.
