Calcolo Limite indeterminato

[rossini128]

Cortesemente mi potreste aiutare nel calcolo del seguente limite?
\[\lim x\rightarrow 0 (1-\sin x)^\\cos x/x \]

Grazie in anticipo

[Admin]

Ciao, il tuo post non risulta (ancora una volta) formattato correttamente in codice LaTex e l'esercizio proposto è incomprensibile !!

Ti ricordiamo che in questo Forum, come da regolamento, è obbligatorio l'uso di Equation Editor per la corretta scrittura delle formule matematiche !! ...

Al seguente link troverai ulteriori informazioni su come si usa Equation Editor e relativa DEMO per esercitarti:

Obbligo di usare Equation Editor per la scrittura delle formule matematiche

Ti preghiamo di ri-editare il tuo post sopra (non c'è bisogno di rifarlo!) e correggere la formattazione LaTex delle formule al fine di consentire la gestione della tua richiesta!

Se hai domande e difficoltà su come usare l' Equation Editor ti preghiamo ti postarle dopo aver letto TUTTA la relativa documentazione sull'uso del codice LaTex e aver fatto diverse prove con la DEMO!


Grazie per la collaborazione.

[rossini128]

\[\\\lim x \mapsto 0\(1-\sin x)^\cos x/x\]


Spero vada bene.
Grazie e scusate

[Admin]

NO !! ... non ci siamo ancora! ... non ti sembra che la formula non appare correttamente ma si vede solo il codice LaTex che non viene poi renderizzato al caricamento della pagina web?

Quando usi l'editor per costruire la formula vedrai sempre in tempo reale l'anteprima della formula e quando ti appare giusta devi solo copiare il codice cliccando semplicemente sul pulsante "Copia nel post" in modo che venga copiato correttamente!

Ti preghiamo di fare prima le prove con la DEMO al seguente indirizzo per capire bene come funziona! ...

Demo Equation Editor


Grazie!

[rossini128]

\[\lim _x_{\rightarrow0}(x-\sin x)^{\cos x/x}\]

[rossini128]

Credo che stavolta sia riuscito a scriverla correttamente con il tutorial

Mi aiutate?

Grazie

[maurizio.schirinzi]

Ciao, apprezziamo lo sforzo fatto per imparare l'uso dell'equation editor ed eccoti la soluzione completa del tuo limite:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(x - sen(x))^{\frac{{\cos (x)}}{x}}} = {0^{\frac{1}{0}}} = {0^\infty }\]
Il limite NON si presenta in forma indeterminata pertanto il calcolo è immediato !! ... Occorre solo fare attenzione per il calcolo ai segni in gioco nelle tendenze dei vari oggetti coinvolti, separando evidentemente il calcolo del limite destro da quello sinistro:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(x - sen(x))^{\frac{{\cos (x)}}{x}}} = \]
\[ = \left\{ \begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {(x - sen(x))^{\frac{{\cos (x)}}{x}}} = {({0^ + })^{\frac{1}{{{0^ + }}}}} = {({0^ + })^{ + \infty }} = {0^ + } = 0\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {(x - sen(x))^{\frac{{\cos (x)}}{x}}} = {({0^ + })^{\frac{1}{{{0^ - }}}}} = {({0^ + })^{ - \infty }} = \frac{1}{{{{({0^ + })}^{ + \infty }}}} = \frac{1}{{{0^ + }}} = + \infty
\end{array} \right.\]
si noti inoltre che per ovvi motivi legati alla definizione di seno e sua relativa rappresentazione nel modello goniometrico risulta sempre che
\[x \to {0^ \pm }\;\;\;sen(x) < x\;\;\; \Rightarrow \;\;\;x - sen(x) > 0\;\;\; \Rightarrow \;\;\;x - sen(x) \to {0^ + }\]
da cui le tendenze con relativo segno su viste!


Saluti.

[rossini128]

Ti ringrazio per la pronta ed esauriente risposta ma, sul testo è indicato questo risultato:


1/e

Ciao e grazie ancora

[maurizio.schirinzi]

NO !! ... se il limite è scritto come sopra il risultato e quello del mio precedente post! ... hai controllato bene il testo dell'esercizio se è scritto esattamente così? ...
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(x - sen(x))^{\frac{{\cos (x)}}{x}}}\]

[rossini128]

Hai ragione, scusa ma, con tutte le volte che l'ho riscritta con l'editor non mi sono accorto dell'errore :
invece di

(x- sin(x))

è
(1-sin(x))

Abbi pazienza ma ancora sono poco pratico con l'Equation editor che mi scrive bene in "anteprima" ma quando faccio "copia nel post" mi copia il codice Latex e non la formula


Mi sembra che sia la forma indeterminata
1^inf

[maurizio.schirinzi]

Ecco ... allora cambia tutto !! ...

Innanzi tutto riguardo all'uso dell'equation editor quando clicchi sul pulsante "Copia nel Post" viene giustamente copiato il solo codice LaTex nel post e NON l'immagine della formula che vedi nell'anteprima di composizione della formula stessa! ... L'anteprima serve a te per vedere cosa stai facendo!

Se il codice copiato risulta sintatticamente corretto allora ci penserà il web-engine del sito a renderizzare correttamente la formula facendo apparire poi la corretta immagine al caricamento della pagina web!

Detto questo ecco il nuovo limite:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 - sen(x))^{\frac{{\cos (x)}}{x}}} = [{1^\infty }]\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 - sen(x))^{\frac{{\cos (x)}}{x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {e^{\ln [{{(1 - sen(x))}^{\frac{{\cos (x)}}{x}}}]}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {e^{\frac{{\cos (x)}}{x}\ln [1 - sen(x)]}} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {e^{\frac{{\cos (x)}}{x}\ln [(1 - sen(x))]}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos (x)}}{x}\ln [(1 - sen(x))]}} = *\]
calcolando a parte il limite dell'esponente dell'esponenziale si ha
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos (x)}}{x}\ln [1 - sen(x)] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos (x)\frac{{\ln [1 - sen(x)]}}{x} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos (x)\mathop { \cdot \lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln [1 - sen(x)]}}{x} = 1 \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln [1 - sen(x)]}}{x} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln [1 + ( - sen(x))]}}{x}\mathop = \limits^{[\frac{0}{0}]} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln [1 + ( - sen(x))]}}{{ - x\,sen(x)}}( - sen(x)) = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln [1 + ( - sen(x))]}}{{ - sen(x)}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - sen(x)}}{x} = 1 \cdot ( - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{sen(x)}}{x}) = - 1\]
ottenuto ricordando i soliti limiti notevoli
\[\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\ln (1 + t)}}{t} = 1\;\;\;\;\;\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{sen(t)}}{t} = 1\]
da cui sostituendo il risultato ottenuto nell'esponente dell'esponenziale del limite iniziale si ha il risultato finale
\[* = {e^{ - 1}} = \frac{1}{e}\]


Saluti.

[rossini128]

Grazie "infinito", Maurizio.