Disequazione lineare in seno e coseno

[trieb91]

Spero di pubblicare nella sezione giusta, ma ho grandi difficoltà con questa disequazione trigonometrica.
\[senx -\sqrt{3}cosx-1> 0\]
Non so come procedere perchè non ci sono formule da applicare ed essendoci l'1 mi incasino se divido tutto per cosx. Cosa si fa in questo caso?

[maurizio.schirinzi]

Ciao, \[sen(x) - \sqrt 3 \cos (x) - 1 > 0\]
trattandosi di una disequazione di tipo "SPECIALE" e in particolare "Lineare in Seno e Coseno" va gestita esclusivamente con le tecniche delle disequazioni goniometriche speciali che nel caso delle disequazioni lineari in seno e coseno consistono in 2 possibili metodi algebrici-meccanici (consigliati) e un metodo alternativo grafico!

- Il primo metodo consiste nell'applicare le formule parametriche:
\[sen(x) = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\;\;\;\;\;\cos (x) = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\]
\[t = tg(\frac{x}{2})\;\;\;\;\;x \ne \pi + 2k\pi \]
con il caso $x = \pi $ che va gestito a parte!


- Il secondo metodo è il cosiddetto metodo dell'angolo "aggiunto" che consente di ricondurre la disequazione lineare in seno e coseno in una elementare con le seguenti formule:
\[a\,sen(x) + b\,\cos (x) + c > 0\]
\[sen(x + \varphi ) > \frac{{ - c}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\]
\[\left\{ {\left. \begin{array}{l}
\cos (\varphi ) = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\\
sen(\varphi ) = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}
\end{array} \right\}} \right. \to \;\;\varphi = ...\]


Utilizzando ad esempio il primo metodo delle formule parametriche si ha:
\[sen(x) - \sqrt 3 \cos (x) - 1 > 0\]
\[\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} - \sqrt 3 \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} - 1 > 0\]
\[\frac{{2t - \sqrt 3 (1 - {t^2}) - (1 + {t^2})}}{{1 + {t^2}}} > 0\]
\[2t - \sqrt 3 + \sqrt 3 {t^2} - 1 - {t^2} > 0\]
\[(\sqrt 3 - 1){t^2} + 2t - \sqrt 3 - 1 > 0\]
e dopo aver trovato le soluzioni della disequazione di 2° grado rispetto alla variabile t sarà possibile ricondurle a 2 disequazioni elementari in tangente ricordando che $t = tg(\frac{x}{2})$

Occorre poi verificare a parte se $x = \pi $ è soluzione della disequazione con un test specifico!


Saluti.

[trieb91]

Signor Schirinzi, grazie per il suggerimento. Ho provato a fare così.
Innanzitutto ho verificato che \[\pi\] fosse soluzione della disequazione ed effettivamente risulta esserlo. Ho poi risolto la disequazione di 2 grado ottenendo due soluzioni. La prima \[\frac{-2+2\sqrt[]{3}}{-2+2\sqrt[]{3}}\] e quindi 1. La seconda invece con il segno - al numeratore a precedere il delta e con questa non so proprio come procedere.
il libro mi da come risultato: \[\frac{\pi }{2}+2k\pi < x< \pi +2k\pi\vee\pi +2k\pi\ < x< 2arctg(-2-\sqrt[]{3})+2k\pi\]

[maurizio.schirinzi]

Dalla disequazione in t risulta che le radici sono:
\[t = 1\]
\[t = \frac{{ - 1 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 - 1}}\]
la seconda va necessariamente "razionalizzata" e quindi diventa
\[t = \frac{{ - 1 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 - 1}} = \frac{{( - 1 - \sqrt 3 )(\sqrt 3 + 1)}}{{(\sqrt 3 - 1)(\sqrt 3 + 1)}} = \frac{{ - \sqrt 3 - 1 - 3 - \sqrt 3 }}{{3 - 1}} = \frac{{ - 2\sqrt 3 - 4}}{2} = - (\sqrt 3 + 2)\]
Le soluzioni della disequazione in t saranno dunque i valori esterni alle 2 radici
\[t < - (\sqrt 3 + 2)\;\;\; \vee \;\;\;t > 1\]
e ricordando che $t = tg(\frac{x}{2})$ si avranno 2 disequazioni elementari in tangente
\[tg(\frac{x}{2}) < - (\sqrt 3 + 2)\;\;\; \vee \;\;\;tg(\frac{x}{2}) > 1\]
le cui soluzioni saranno
\[tg(\frac{x}{2}) > 1\;\;\; \to \;\;\;\frac{\pi }{4} + k\pi < \frac{x}{2} < \frac{\pi }{2} + k\pi \;\;\; \to \;\;\;\frac{\pi }{2} + 2k\pi < x < \pi + 2k\pi \]
\[tg(\frac{x}{2}) < - (\sqrt 3 + 2)\;\;\; \to \;\;\;\frac{\pi }{2} + k\pi < \frac{x}{2} < \frac{7}{{12}}\pi + k\pi \;\;\; \to \;\;\;\pi + 2k\pi < x < \frac{7}{6}\pi + 2k\pi \]
si noti che il valore $\sqrt 3 + 2$ corrisponde ad un valore di angolo noto ($\frac{5}{{12}}\pi $) della tangente (dalla tabella dei valori delle funzioni goniometriche) e pertanto non c'è bisogno di esprimerlo con l'arcotangente come fa il tuo libro!

Inoltre unendo le soluzioni trovate con la soluzione del "test" si avrà
\[\left[ \begin{array}{l}
\pi + 2k\pi < x < \frac{7}{6}\pi + 2k\pi \;\;\; \vee \;\;\;\frac{\pi }{2} + 2k\pi < x < \pi + 2k\pi \\
x = \pi + 2k\pi \;\;\;(dal\;test)
\end{array} \right.\]
che si "agganciano" in unione proprio su $\pi $ e dunque si avrà la scrittura finale più comoda
\[\frac{\pi }{2} + 2k\pi < x < \frac{7}{6}\pi + 2k\pi \]
Il tuo libro non considera la soluzione di test e commette dunque un errore!

Saluti.