Ciao, sia data la proprietà P(n)
\[P(n):\;\;\;\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{k(k + 1)}}} = \frac{n}{{n + 1}}\]
verifichiamo la sua verità per n=1 e n=2 (basta solo per n=1)
\[P(1):\;\;\;\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\]
\[P(2):\;\;\;\frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3}\;\;\; \to \;\;\;\frac{2}{3} = \frac{2}{3}\]
\[...\]
\[P(n):\;\;\;\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{k(k + 1)}}} = \frac{n}{{n + 1}}\]
supponendo ora vera la P(n) per ogni n appartenente a N, scriviamo la P(n+1)
\[P(n + 1):\;\;\;\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} {\frac{1}{{k(k + 1)}}} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}}\]
vediamo se, sfruttando la verità supposta della P(n), riusciamo a dimostrare la verità della P(n+1) cioè partendo dalla P(n+1) cerchiamo di dimostrare la sua verità come identità utilizzando la formula supposta valida della P(n)
\[\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} {\frac{1}{{k(k + 1)}}} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}}\]
stacchiamo l'ultimo termine (quello per n+1) dalla sommatoria a primo membro
\[\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{k(k + 1)}}} + \frac{1}{{(n + 1)(n + 2)}} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}}\]
ora inseriamo il secondo membro della indentità supposta vera P(n) al posto della sommatoria a primo membro
\[\frac{n}{{n + 1}} + \frac{1}{{(n + 1)(n + 2)}} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}}\]
e svolgendo tutti i calcoli a primo membro si ha
\[\frac{{n(n + 2) + 1}}{{(n + 1)(n + 2)}} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}}\]
\[\frac{{{n^2} + 2n + 1}}{{(n + 1)(n + 2)}} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}}\]
\[\frac{{{{(n + 1)}^2}}}{{(n + 1)(n + 2)}} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}}\]
\[\frac{{n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}}\]
dunque si arriva ad una identità che conferma la validità della P(n) per ogni n appartenente a N.
Saluti.
