Ciao, innazitutto trattandosi di una Serie e non di una Successione questo topic andava postato nella opportuna categoria delle Serie! ... qui siamo nella categoria successioni! ...
Venendo alla tua serie
\[\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {{{(\sqrt[n]{n} - 1)}^n}sen({n^2} - {2^n})} \]
proviamo l'assoluta convergenza e maggioriamo i termini della serie
\[\left| {{{(\sqrt[n]{n} - 1)}^n}sen({n^2} - {2^n})} \right| \le \left| {{{(\sqrt[n]{n} - 1)}^n}} \right| = {(\sqrt[n]{n} - 1)^n}\]
dimostriamo che converge la serie di confronto
\[\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {{{(\sqrt[n]{n} - 1)}^n}} \]
applicando il Criterio del Rapporto si ha
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt[n]{{{{(\sqrt[n]{n} - 1)}^n}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\sqrt[n]{n} - 1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ({n^{\frac{1}{n}}} - 1) = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ({e^{\ln ({n^{\frac{1}{n}}})}} - 1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ({e^{\frac{1}{n}\ln (n)}} - 1) = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ({e^{\frac{{\ln (n)}}{n}}} - 1) = {e^0} - 1 = 1 - 1 = 0 < 1\,\;\; \to \;\;\;converge!\]
dunque la serie di confronto converge e per il criterio del confronto la nostra serie converge assolutamente e dunque anche semplicemente!
Saluti.
PS: Lo User Admin provvederà a spostare il topic nella categoria opportuna!
