Ciao,
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (\sqrt {{x^2} + 1} + x)\ln (\left| x \right|) = [ + \infty - \infty ]( + \infty )\]
eseguendo una razionalizzazione verso sotto dell'espressione con i radicali si ha
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (\sqrt {{x^2} + 1} + x)\ln (\left| x \right|) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{(\sqrt {{x^2} + 1} + x)(\sqrt {{x^2} + 1} - x)\ln (\left| x \right|)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - x}} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{({x^2} + 1 - {x^2})\ln (\left| x \right|)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\ln (\left| x \right|)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\ln (\left| x \right|)}}{{\sqrt {{x^2}(1 + \frac{1}{{{x^2}}})} - x}} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\ln (\left| x \right|)}}{{\left| x \right|\,\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\ln (\left| x \right|)}}{{ - x\,\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\ln (\left| x \right|)}}{{ - x\,\,[\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} + 1]}} = \]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\ln ( - x)}}{{ - x}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} + 1}} = 0 \cdot \frac{1}{{\sqrt {1 + 0} + 1}} = 0 \cdot \frac{1}{2} = 0\]
dove il primo limite è ovviamente il limite notevole del logaritmo.
Saluti.
