Ciao, innanzitutto si tratta di 2 integrali "impropri" o "generalizzati" e andavano postati nella relativa categoria di argomento! ...
Vediamo il primo integrale
\[\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{{x - arctg(x)}}{{{x^3}}}dx} \]
conviene spezzarlo in 2 integrali per studiare la convergenza e calcolare l'eventuale primitiva separatamente:
\[\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{{x - arctg(x)}}{{{x^3}}}dx} = \int\limits_1^{ + \infty } {\frac{1}{{{x^2}}}dx} + \int\limits_1^{ + \infty } {\frac{{arctg(x)}}{{{x^3}}}dx} \]
la convergenza del primo integrale è ovvia essendo un integrale notevole; per il secondo integrale abbiamo:
\[\frac{{arctg(x)}}{{{x^3}}}\mathop \sim \limits_{x \to + \infty } \frac{\pi }{2}\frac{1}{{{x^3}}}\;\;\; \to \;\;\;converge!\]
per calcolare l'eventuale somma integrale occorre trovare, quando possibile, una primitiva e poi fare il limite di convergenza; per il primo integrale la primitiva è banale:
\[\int {\frac{1}{{{x^2}}}dx = - \frac{1}{x} + c} \]
per il secondo integrale basta procedere per parti:
\[\int {\frac{{arctg(x)}}{{{x^3}}}dx} = \int {\frac{1}{{{x^3}}}arctg(x)dx} = *\]
ponendo
\[f' = \frac{1}{{{x^3}}}\;\;\; \to \;\;\;f = \int {\frac{1}{{{x^3}}}dx = } \int {{x^{ - 3}}dx = } \frac{{{x^{ - 3 + 1}}}}{{ - 3 + 1}} = - \frac{1}{2}\frac{1}{{{x^2}}}\]
\[g = arctg(x)\;\;\; \to \;\;\;g' = \frac{1}{{{x^2} + 1}}\]
e applicando la formula per parti si ha
\[* = f \cdot g - \int {f \cdot g'dx = - \frac{1}{2}\frac{1}{{{x^2}}}} \,arctg(x) - \int { - \frac{1}{2}\frac{1}{{{x^2}}}\frac{1}{{{x^2} + 1}}dx} = \]
\[ = \,arctg(x) + \frac{1}{2}\int {\frac{1}{{{x^2}({x^2} + 1)}}dx} = ...\]
a questo punto occorre calcolare l'ultimo integrale con le tecniche di decomposizione in fratti degli integrali di funzioni razionali fratte (lascio a te i dettagli); trovate quindi le primitive dei due integrali basterà fare il limite di convergenza per trovare la somma integrale:
\[\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{1}{{{x^2}}}dx} + \int\limits_1^{ + \infty } {\frac{{arctg(x)}}{{{x^3}}}dx} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } [\int\limits_1^t {\frac{1}{{{x^2}}}dx} + \int\limits_1^t {\frac{{arctg(x)}}{{{x^3}}}]dx} = ...\]
lascio a te i calcoli ...
Per il secondo esercizio si procede in modo analogo ... prova a seguire gli stessi passi! ...
Saluti.
PS: Ti prego di aprire sempre un post per ogni singolo esercizio e non per gruppi di esercizi. Grazie! ... Lo User Admin sposterà questo post nella corretta categoria.
