Funzione logaritmica goniometrica

[GiancarloRossimiao]

Studio della Funzione
Sono riuscito a definire il dominio ma non so andare avanti

y = log [cotg(1+x^2)]

Approfitto per porre un quesito. Il coefficiente (1:2*pi greco) della formula di Gauss, punto di massimo della curva normale, da dove deriva e perchè si usa il pi greco?
Come si è arrivati alla funzione di Gauss (passaggi matematici) e dove è possibile reperire un caso applicativo che giustifica tale formula (dalla Teoria degli errori)?
Grazie

[maurizio.schirinzi]

Ciao,
\[f(x) = \ln (ctg(1 + {x^2}))\]
poichè lo studio completo di questo tipo di funzioni varie richiede calcoli più complessi e lunghi da postare qui nel forum ti chiedo di precisare più in dettaglio i tuoi dubbi con i relativi passaggi della tua tentata soluzione ...

Mi limiterò di seguito all'impostazione dello studio del dominio nell'ipotesi di limitare lo studio nell'intervallo [0,2pi] :
\[{D_f}:\left\{ \begin{array}{l}
1 + {x^2} \ne 0\;\;\; \to \;\;\;\forall x \in R\\
1 + {x^2} \ne \pi \;\;\; \to \;\;\;x \ne \pm \sqrt {\pi - 1} \\
1 + {x^2} \ne 2\pi \;\;\; \to \;\;\;x \ne \pm \sqrt {2\pi - 1} \\
ctg(1 + {x^2}) > 0\;\;\; \to \;\;\;0 < 1 + {x^2} < \frac{\pi }{2}\;\; \vee \;\;\pi < 1 + {x^2} < \frac{3}{2}\pi \;\;...
\end{array} \right.\]
\[0 < 1 + {x^2} < \frac{\pi }{2}\;\;\;\; \to \;\;\;\; - \sqrt {\frac{\pi }{2} - 1} < x < \sqrt {\frac{\pi }{2} - 1} \]
\[\pi < 1 + {x^2} < \frac{3}{2}\pi \;\;\; \to \;\;\;\pi - 1 < {x^2} < \frac{3}{2}\pi - 1\;\;\; \to \]
\[ \to \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} < \frac{3}{2}\pi - 1\;\;\; \to \;\;\; - \sqrt {\frac{3}{2}\pi - 1} < x < \sqrt {\frac{3}{2}\pi - 1} \\
{x^2} > \pi - 1\;\;\; \to \;\;\;x < - \sqrt {\pi - 1} \;\;\; \vee \;\;\;x > \sqrt {\pi - 1}
\end{array} \right.\]
Per completare il dominio occorre quindi procedere all'intersezione di quest'ultimo sistema, all'unione con la precedente condizione e ancora all'intersezione del sistema principale con tutte le condizioni ricavate.

Successivamente occorre studiare i punti di confine del dominio (con i limiti) e classificare i relativi punti singolari con gli eventuali asintoti verticali, dunque procedere con le fasi successive dello studio di funzione : studio del segno, asintoti orizzontali e obliqui, derivate ecc ...

In allegato il grafico finale della funzione.

Riguardo alla tua domanda sulla funzione di Gauss, se ti riferisci ad argomenti di Statistica e Teoria degli Errori, purtroppo queste sono considerate materie a parte e non previste da questo progetto! ... Non è difficile comunque trovare su Google ottime risorse sull'argomento in risposta alla tua domanda.

Ecco ad esempio un riferimento su Wikipedia: https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_gaussiana

Saluti.


PS: Ti prego di utilizzare sempre l'equation editor per scrivere correttamente le formule matematiche! Grazie.

[GiancarloRossimiao]

\[x\neq -\sqrt{2\pi -1 }; -\sqrt{\frac{3}{2}\pi -1}< x<-\sqrt{\pi -1}; -\sqrt{\frac{\pi }{2}-1}<x<\sqrt{\frac{\pi }{2}-1}; \sqrt{\pi -1}< x< \sqrt{\frac{3}{2}\pi -1}; x\neq \sqrt{2\pi -1}\]

[GiancarloRossimiao]

Ciao,
ho definito il dominio. In base ai miei calcoli sono tutte singolarità. Ho analizzato i punti, ho calcolato i limiti. Sono tutti asintoti verticali. La funzione è pari...

[GiancarloRossimiao]

\[x= +/- \sqrt{\frac{5}{4}\pi -1}; y= ln(\frac{\sqrt{2}}{2})\]

Sono le intersezioni con gli assi.
Mentre non è accettabile:
\[x=+/-\sqrt{\frac{\pi }{4}-1}\]

[GiancarloRossimiao]

Mi dai qualche indicazione utile? E' corretto il dominio?
Mi fai vedere lo studio del segno?

[GiancarloRossimiao]

Il problema è la confusione tra il dominio del logaritmo e i risultati della disequazione....Aiuto!!!

[maurizio.schirinzi]

Ciao, non comprendo la "confusione" a cui ti riferisci nella disequazione dello studio del segno e il dominio! ...

Ricorda che i risultati di qualunque passo nello studio di una funzione vanno sempre intersecati con il dominio della funzione stessa! ... quindi per lo studio del segno basta impostare la domanda di segno (in positività) con una disequazione risolvendo la quale e intersecando sempre con il dominio ottieni la zona di positività, quindi per esclusione avrai quella di negatività; ecco di seguito l'impostazione lasciando a te i calcoli e i dettagli:
\[f(x) = \ln (cotg(1 + {x^2}))\]
\[\ln (cotg(1 + {x^2})) \ge 0\;\;\; \to \;\;\;\ln (ctg(1 + {x^2})) \ge \ln (1)\;\;\; \to \]
\[ \to \;\;\;cotg(1 + {x^2}) \ge 1\;\;\; \to \;\;\;0 < 1 + {x^2} \le \frac{\pi }{4}\;\; \vee \;\;\;\pi < 1 + {x^2} \le \frac{5}{4}\pi \;\;\;...\]

Saluti.

[GiancarloRossimiao]

Ciao,
potresti darmi qualche diritta per lo studio delle singolarità? Quando calcolo il limite dalla destra e dalla sinistra ha senso? C'è una elevazione al quadrato

[GiancarloRossimiao]

\[\frac{-2\cos (1+x^2)\sin (1+x^2)+4x\sin (1+x^2)-4x\cos (1+x^2)}{\cos ^2(1+x^2)\sin ^2(1+x^2)}\]

Ciao,
ho risolto la derivata prima trovando un max in x=0. Non riesco a impostare la risoluzione della derivata seconda per lo studio della concavità e convessità.
Potresti darmi una mano?
Grazie

[maurizio.schirinzi]

Ciao, quando lo studio del segno della derivata seconda non risulta fattibile con le normali tecniche algebriche occorre semplicemente rinunciare allo studio analitico della concavità/convessità; si nota infatti, dall'espressione che hai postato (se quella è la derivata seconda!) che, poichè è presente la x dentro e fuori dalle funzioni goniometriche, per tali espressioni non risulta fattibile lo studio del segno con le normali tecniche risolutive algebriche! ... pertanto occorre rinunciare!

Riguardo al tuo penultimo post relativamente alla domanda "ha senso il calcolo del limite destro-sinistro?" ... non capisco la tua domanda! ... direi che è ovviamente fondamentale per capire la tendenza a + o - infinito in corrispondenza dei punti singolari dove ci sono gli asintoti verticali!

Saluti.

[GiancarloRossimiao]

Ciao,
stavo giusto guardando le email....Puoi farmi qualche esempio di studio delle singolarità dal dominio? Cerco conferme....Giusto qualche limite. Se lo ritieni esatto puoi partire dal dominio di cui al precedente quesito.
Grazie

[GiancarloRossimiao]

...Quando elevo al quadrato e vado a sostituire nel calcolo del limite devo considerare +/- davanti al risultato della elevazione...che sta sotto radice....

[maurizio.schirinzi]

Scusami ma continuo a non capire ... elevare al quadrato? ... cosa? ... dove? ... potresti postare tutti i passaggi per favore? ... grazie.

[GiancarloRossimiao]

Considerando uno dei punti singolari del dominio imposto il limite. Come lo risolvi?
\[lim_{x\rightarrow -\sqrt{\frac{3}{2}\pi -1}}\ln (\cot (1+x^2))\]

[GiancarloRossimiao]

Ti ricordo il dominio.
Grazie ancora per il tuo tempo.



\[x\neq -\sqrt{2\pi -1 }; -\sqrt{\frac{3}{2}\pi -1}< x<-\sqrt{\pi -1}; -\sqrt{\frac{\pi }{2}-1}<x<\sqrt{\frac{\pi }{2}-1}; \sqrt{\pi -1}< x< \sqrt{\frac{3}{2}\pi -1}; x\neq \sqrt{2\pi -1}\][/quote]