Inversa di funzione

[MarcoMath]

Buongriono professore, come faccio ad affermare che la seguente funzione è invertibile?

\[\frac{2e^{x}+4}{e^{x}-1}\]


Grazie

[maurizio.schirinzi]

Ciao,
\[y = f(x) = \frac{{2{e^x} + 4}}{{{e^x} - 1}}\]
per valutare l'invertibilità di una funzione occorre dimostrare che essa è biettiva sul suo dominio; un criterio per stabilire se una funzione è invertibile è quello di dimostrare che essa è continua e monotona (crescente o decrescente) sull'intero dominio.

Poichè il dominio sarà ovviamente
\[{D_f} = R - \{ 0\} \]
possiamo certamente dire che la funzione è continua sul suo dominio; ci basterà dimostrare che è monotona calcolando la derivata prima e studiandone il segno:
\[f'(x) = \frac{{2{e^x}({e^x} - 1) - (2{e^x} + 4){e^x}}}{{{{({e^x} - 1)}^2}}} = \frac{{2{e^{2x}} - 2{e^x} - 2{e^{2x}} - 4{e^x}}}{{{{({e^x} - 1)}^2}}} = \]
\[ = \frac{{ - 6{e^x}}}{{{{({e^x} - 1)}^2}}} < 0\;\;\; \to \;\;\;\forall x \in {D_f}\]
A questo punto sappiamo che la funzione è continua e strettamente decrescente sull'intero dominio e dunque biettiva e quindi invertibile; ovviamente il calcolo della eventuale espressione inversa dipende dalla fattibilità algebrica dei calcoli di inversione ma in questo caso non ci sono problemi; infatti abbiamo:
\[y = \frac{{2{e^x} + 4}}{{{e^x} - 1}}\;\;\; \to \;\;\;({e^x} - 1)y = 2{e^x} + 4\;\;\; \to \;\;\;{e^x}y - y = 2{e^x} + 4\;\;\; \to \]
\[ \to \;\;\;{e^x}y - 2{e^x} = y + 4\;\;\; \to \;\;\;{e^x}(y - 2) = y + 4\;\;\; \to \]
\[ \to \;\;\;{e^x} = \frac{{y + 4}}{{y - 2}}\;\;\; \to \;\;\;x = \ln (\frac{{y + 4}}{{y - 2}})\]
nell'opportuno dominio di invertibilità.

Saluti.