Ciao,
\[f(x) = {e^{ - x}}({x^2} - 2x + k) - \frac{k}{2}\;\;\;x \in [0, + \infty \,[\;\;\;k \in [2, + \infty \,[\]
per questo tipo di studio parametrico il teorema di Bolzano serve a ben poco! ... trattandosi infatti di una discussione parametrica generale al variare di k è necessario affrontare il problema dal punto di vista grafico nel seguente classico modo:
Per cercare gli zeri dovrà essere
\[f(x) = 0\;\;\; \to \;\;\;{e^{ - x}}({x^2} - 2x + k) - \frac{k}{2} = 0\]
da cui disaccoppiando in 2 membri l'equazione si ha
\[{e^{ - x}}({x^2} - 2x + k) - \frac{k}{2} = 0\;\;\; \to \;\;\;{x^2} - 2x + k = \frac{k}{2}{e^x}\]
a questo punto introduciamo 2 funzioni da studiare e da intersecare graficamente dove una sarà un fascio di esponenziali e l'altra un fascio di parabole
\[\left\{ \begin{array}{l}
y = {x^2} - 2x + k\\
y = \frac{k}{2}{e^x}
\end{array} \right.\]
non è difficile valutare come si muove il fascio di esponenziali al variare di k partendo da k=2 e lo stesso per il fascio di parabole che avrà vertice sull'asse x=1 con ordinata che varia al variare di k (parabola in traslazione verso l'alto all'aumentare di k)
dopo aver tracciato una bozza dei 2 fasci non è difficile rendersi conto in quanti punti si intersecano i grafici mantenendo l'osservazione per le x>=0 e per k>=2 ottenendo quindi il numero di zeri della funzione che stavamo cercando.
Lascio a te i dettagli del procedimento.
Saluti.
PS: Ti prego di postare sempre utilizzando l'equation editor come da regolamento. Troverai informazioni sull'uso dell'equation editor e una pagina di addestramento al seguente link:
Obbligo di usare Equation Editor per la scrittura delle formule matematichePoiché l'argomento di questo post non riguarda il teorema di Bolzano ma uno studio di funzione parametrico il topic sarà spostato nella categoria più opportuna con il titolo rinominato.
