Determinazione del numero degli zeri di una funzione parametrica (Es.1)

[piros89]

DETERMINARE IL NUMEREO DEGLI ZERIAL VARIARE DI k:

f(x)=e^3x-3e^x+k

[maurizio.schirinzi]

Ciao,
\[f(x) = {e^{3x}} - 3{e^x} + k\]
per questo tipo di studio parametrico il teorema di Bolzano serve a ben poco! ... trattandosi infatti di una discussione parametrica generale al variare di k è necessario affrontare il problema dal punto di vista grafico nel seguente classico modo:

Per cercare gli zeri dovrà essere
\[f(x) = 0\;\;\; \to \;\;\;{e^{3x}} - 3{e^x} + k = 0\]
da cui disaccoppiando in 2 membri l'equazione con la parte parametrica da una parte e quella non parametrica dall'altra si ha
\[{e^{3x}} - 3{e^x} + k = 0\;\;\; \to \;\;\;{e^{3x}} - 3{e^x} = - k\]
a questo punto introduciamo 2 funzioni da studiare e da intersecare graficamente dove una sarà una funzione esponenziale e l'altra un fascio di rette parallele orizzontali
\[\left\{ \begin{array}{l}
y = {e^{3x}} - 3{e^x}\\
y = - k
\end{array} \right.\]
per studiare più comodamente la funzione esponenziale si potrà effettuare un cambio di variabile ponendo ${e^x} = t\;$ (con t>0) cioè
\[y = {e^{3x}} - 3{e^x}\]
ponendo
\[{e^x} = t\;\;\;(t > 0)\]
si ha
\[y = {t^3} - 3t\]
il cui studio è sicuramente più agevole e immediato trattandosi di un polinomio di 3 grado scomponibile; dopo aver tracciato il grafico con uno studio completo di funzione e determinato max e min e immagine della funzione basterà intersecare il grafico con quello del fascio di rette y=-k e guardare i punti di intersezione dei grafici che saranno gli zeri della funzione che stavamo cercando; occorre aver cura di guardare solo la parte di piano cartesiano per t>0 a causa della sostituzione che abbiamo fatto e cercare quindi gli zeri solo nella parte di grafico di ascisse t positive.

Lascio a te i dettagli del procedimento.

Saluti.


PS: Ti prego di postare sempre utilizzando l'equation editor come da regolamento. Troverai informazioni sull'uso dell'equation editor e una pagina di addestramento al seguente link: Obbligo di usare Equation Editor per la scrittura delle formule matematiche
Poiché l'argomento di questo post non riguarda il teorema di Bolzano ma uno studio di funzione parametrico il topic sarà spostato nella categoria più opportuna con il titolo rinominato.