Ciao,
\[f(x) = \frac{{\cos (x) + sen(x)}}{{\cos (2x)}}\]
per il dominio si ha
\[\cos (2x) \ne 0\;\;\; \to \;\;\;2x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \;\;\; \to \;\;\;x \ne \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\]
\[{D_f} = R - \{ \;\frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},\;k \in Z\;\} \]
riguardo agli altri studi per comodità si potrebbe semplificare la funzione applicando la formula di duplicazione del coseno nel seguente modo
\[f(x) = \frac{{\cos (x) + sen(x)}}{{\cos (2x)}} = \frac{{\cos (x) + sen(x)}}{{{{\cos }^2}(x) - se{n^2}(x)}} = \]
\[ = \frac{{\cos (x) + sen(x)}}{{[\cos (x) - sen(x)]\;[\cos (x) + sen(x)]}} = \frac{1}{{\cos (x) - sen(x)}}\]
a patto naturalmente di non dimenticare il campo di esistenza della funzione originale, questa semplificazione agevola tutti i calcoli delle fasi successive dello studio della funzione e infatti:
- per lo studio del segno si avrà
\[f(x) = \frac{1}{{\cos (x) - sen(x)}} \ge 0\;\;\; \to \;\;\;\cos (x) - sen(x) \ge 0\]
che si può vedere come una disequazione goniometrica lineare in seno e coseno oppure una omogenea in seno e coseno di primo grado e potrà quindi essere studiata con le relative tecniche viste in goniometria; lascio a te i relativi dettagli analitici.
- per il limite ad esempio in uno dei punti singolari si avrà (utilizzando la stessa semplificazione di cui soprà per eliminare la forma indeterminata)
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{\cos (x) + sen(x)}}{{\cos (2x)}}\mathop = \limits^{[\frac{0}{0}]} \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{\cos (x) + sen(x)}}{{{{\cos }^2}(x) - se{n^2}(x)}} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{\cos (x) + sen(x)}}{{[\cos (x) - sen(x)]\;[\cos (x) + sen(x)]}} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{1}{{\cos (x) - sen(x)}} = \frac{1}{{{0^ \pm }}} = \pm \infty \]
con presenza quindi di asintoti verticali per la funzione.
Saluti
