Dominio funzione inversa logaritmica

[Emilio86]

Salve a tutti, ho visto che nell'argomento ancora non ha scritto nessuno, dunque approfitto subito per sottoporvi una questione che a me è risultata alquanto spinosa.
Dunque, alla prova scritta di analisi 1 ad ingegneria mi è capitata tra le altre cose del compito, questa funzione:
f(x)= arctan((ln(x)-1)/(ln(x)+1)) - ln(ln^2(x)+1)

mi spiego meglio....allora, l'argomento dell'arcotangente è una frazione con numeratore ln(x)-1 e denominatore ln(x)+1 , poi c'è meno ln (con argomento ln elevato al quadrato con argomento (x) meno 1 )..spero sia chiaro cmq già dalla traccia.

io per il calcolo del dominio forse ho fatto un errore, perchè a giudicare dal risultato non è andato bene il compito...ovviamente ho considerato che per l'argomento dell'artg nessuna condizione, e che la condizione del ln invece sia che x>0. l'errore forse l'ho commesso andando a verificare l'esistenza del rapporto dell'argomento dell'arctg, ed ho posto ln(x)+1 diverso da zero. questo ovviamente mi ha comportato un dominio che vale per tutti i numeri reali positivi escludendo il punto e^-1 che annulla il denominatore.
temo a questo punto che quella condizione non andava posta e che l'argomento dell'rctg andava considerata solo come tale e non come una rapporto, in quanto se anche quel rapporto esce infinito, l'arctg di infinito esiste.
E' giusto il ragionamento??
grazie in anticipo per la disponibilità!

[maurizio.schirinzi]

Salve,
il dominio che hai calcolato nel compito d'esame è corretto!!... probabilmente l'errore al compito è altrove...
le condizioni sono le seguenti...

1) arcotangente : nessun problema
2) log(x) : x>0
3) denominatori sempre diversi da zero!! : quindi log(x)+1 diverso da zero... da cui x diverso da e^-1

NB: l'arco tangente di infinito non esiste!!... arctg(x) esiste solo come tendenza di limite e fa pigrego/2 per x tendente a +infinito e -pigreco/2 per x tendente a -infinito.

ciao

[Emilio86]

dunque il Df= (0+;e^-1 meno) unione (e^-1 più; +inf ) giusto?
Andando poi a studiare il comportamento ai limiti, se ho fatto bene i calcoli viene asintoto vert. in 0 tendende a meno inf, poi il limite che tende a + inf viene meno inf. I due limiti invece che non mi quadrano sono i due nel punto e^-1, perchè svolgendoli mi vengono due risultati finiti e opposti, ovvero:
il primo con "-pigreco/2 -log(2)", il secondo "+pigreco/2 -log(2)", e non riesco a capire cosa voglia dire purtroppo.
In definitiva dal dominio si evince che il punto e^-1 è fuori dominio, dunque il quel punto non è ne continua ne derivabile giusto?...ma non riesco a capire il risultato del limite!
Come appunto c'è da dire che svolgendo tale funzione con un programma matematico, trovo riscontro nel punto e^1, ma la funzione risulta continua toccando a sx di tale punto un punto di massimo e a dx un punto di minimo, passando sull'asse delle x proprio in corrispondenza di e^-1 se non vado errato...proprio non mi riesco a spiegare questo fatto...è possibile?

grazie

[maurizio.schirinzi]

1) dominio : ]0, +infinito[ - {e^-1}
2) punto e^-1 fuori dominio con discontinuità di 1° specie e limiti destro sinistro diversi "-pigreco/2 -log(2)" e "+pigreco/2 -log(2)" ... non continua e quindi non derivabile!
3) asintoto vert. in 0 destro tendende a meno infinito
4) limite x tendente a +infinito = meno infinito

il grafico è il seguente...
ciao

grafico_funzione.jpg (13.7 KiB) Osservato 2866 volte

[Emilio86]

si, mi trovo con tutto quello che hai scritto, fuorchè il grafico. Ma sicuramente è più giusto il tuo a giudicare dal risultato del dominio, a me purtroppo con un programma matematico mi usciva uguale, con la sola differenza che dal punto e^-1 dx e sx risultano uniti!...
A me però una cosa non risulta chiara. Facendo i limiti dx e sx di e^-1, mi trovo anch'io gli stessi risultati, e quindi la domanda è: quando si fa un limite con x tendente ad una x0, e mi esce come risultato un valore finito come in questo caso, il risultato cosa mi dice??...xk in base a ciò e^-1 non è as verticale, ma allora quei risultati cosa indicano?...
scusa la domanda, so che può essere banale la risp ma purtroppo non mi è chiara questa cosa!:(
grazie, ciao

[maurizio.schirinzi]

Quando il limite destro e sinistro verso un punto sono finiti ma diversi (come visto nella teoria) si tratta di un punto di discontinuità di 1° specie (salto finito della funzione tra due diverse quote)...
ti consiglio di dare un occhiata ai video-tutorials nel sito sullo studio della continuità di funzioni varie con relative classificazioni dei tipi di discontinuità...
a questo indirizzo...

Studio Continiutà e Discontinuità - Funzioni Varie

in particolare al video con codice : 2012.02.26-19.03
e agli altri della serie per comprendere bene lo studio delle discontinuità, relative classificazioni e comportamento della funzione nell'intorno...

tieni presente che spesso nei programmi scolastici e purtroppo a volte anche in quelli universitari la classificazione delle discontinuità non vengono trattate con conseguenti lacune degli studenti nello studio dei punti singolari e nel comportamento della funzione nell'intorno di questi particolari punti...

saluti

[Emilio86]

si, infatti ho dato un'occhiata al video ed ora è tutto più chiaro!....la cosa che più mi sfuggiva era il fatto di come localizzare quei punti. Dunque, dal video mi è parso di capire che nell'esempio della mia funzione, nel punto e^-1 da sx la funzione termina nel pnt di coordinate cartesiane ( e^-1; +pigreco/2 -log(2) ) e da dx nel pnt (-pigreco/2 -log(2) ), e riparte, giusto?...
quindi in teoria questi due punti sono anche pnt di massimo e minimo relativo della funzione!!..e dovrebbero emergere dal calcolo poi della derivata prima andando a studiare il suo segno se non vado errato...

[maurizio.schirinzi]

No... un punto dove la funzione non è continua non può essere derivabile e quindi dalle derivate non emerge nulla in quel punto... che tra l'altro non può essere ne di massimo ne di minimo ne altro in quanto li la funzione non esiste!... un max/min per essere tale deve essere prima di tutto un punto di esistenza della funzione oltre che rispettare la definizione di max/min relativo prima ancora di essere eventualmente derivabile e quindi far funzionare poi i teoremi sulle derivate... in futuri video-tutorials cercheremo di fare chiarezza anche su queste cose che a scuola non vengono mai raccontate come si dovrebbe!!

a presto...

[Emilio86]

giustissimo...ora si che ci siamo!..infatti svolgendo la derivata prima se non ho fatto male i conti mi viene un solo punto dove essa si annulla e dunque suppongo sia il punto di max delle seconda parte del grafico...mi esce precisamente in corrispondenza della x= e^1/2...
Grazie di cuore, sei stato estremamente chiaro...mi sento già meglio!

a presto...

[sebastiano]

\[\frac{{{e^{2x}} - 5}}{{{e^x} - 3}}\]
Salve a tutti, sono nuovo del forum e non so di preciso come funziona! Ho un problema non capisco come devo studiare il dominio di questa funzione. Ponendo il denominatore diverso da 0, come si lavora poi?

Grazie in anticipo.

[maurizio.schirinzi]

Ciao,

posto ${e^x} - 3 \ne 0$

si ricava
\[{e^x} - 3 \ne 0 \to {e^x} \ne 3 \to x \ne \ln (3)\]
si risolve l'equazione esponenziale "estraendo" l'esponente con l'introduzione del logaritmo naturale mediante le tecniche risolutive delle equazioni logaritmiche e qui in particolare con la definizione stessa di logaritmo: come l'esponente (x) da dare alla base (e) per ottenere 3.

Saluti


PS: Ti invito ad usare per favore "Equation Editor" (che trovi sulla barra dei comandi del post editor) per scrivere le formule matematiche, in modo da rendere i post più leggibili per tutti. Grazie.

[sebastiano]

Grazie per la risposta!!!!