Forme indeterminate

[pappagallopolemico]

Gent.le Ing.
mi potrebbe indicare cortesemente quali sono le forme indeterminate più ricorrenti?
La ringrazio anticipatamente

[maurizio.schirinzi]

Le forme indeterminate sono 7:
\[[+ \infty - \infty ],[\frac{0}{0}],[\frac{\infty }{\infty }],[0 \cdot \infty],[{0^0}],[{\infty ^0}],[{1^\infty }]\]
derivanti ciascuna dai rispettivi teoremi-proprietà sui limiti che non funzionano in corrispondenza di quelle situazioni;
in ordine:
- limite della somma
- limite del rapporto (2° e 3°)
- limite del prodotto
- limite della funzione esponenziale a base variabile (le ultime 3)

saluti

[pappagallopolemico]

Gent.le Ingegnere,
non c'è un metodo veloce per calcolare i lim che tendono ad infinito delle forme indeterminate? Perchè ad esempio ora mi trovo di fronte al lim che tende ad infinito di e elevato a radice di x su x. Intuitivamente mi viene da dire che siccome l'infinito sotto radice è molto più debole dell'infinito del denominatore, è come se facessi una quantità piccola (considerata quasi un numero finito) su infinito, quindi fa 0. ed e elevato a 0 è 1.
Adesso non so se è sballato totalmente il mio ragionamento, ma una norma che possa regolamentare queste situazioni c'è?

La ringrazio per la disponibilità.
cordiali saluti

[maurizio.schirinzi]

Per risolvere le forme indeterminate non esistono in generale "regole" ma "tecniche" che consistono nel dimostrare algebricamente nella "gara" ad esempio tra due infiniti chi è "più forte" o in termini più matematici chi è l'infinito di ordine di grandezza maggiore.
Non ha senso parlare come dici di un infinito "piccolo" o "quasi finito"... l'infinito è infinito e i numeri finiti sono un'altra cosa!! ...
Occorre invece eliminare la forma indeterminata algebricamente mediante manipolazioni dell'espressione matematica che portano poi ad una qualche semplificazione dei fattori responsabili della forma indeterminata stessa in modo che ciò che rimane non sarà più in forma indeterminata. Nel caso del tuo esempio bastava portare la x a denominatore dentro alla radice:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {e^{\frac{{\sqrt x }}{x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {e^{\sqrt {\frac{x}{{{x^2}}}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {e^{\sqrt {\frac{1}{x}} }} = {e^0} = 1\]
saluti

PS: Ti prego di usare l'equation editor per scrivere le formule matematiche in modo che restino immediatamente leggibili nel forum per tutti. Grazie

[pappagallopolemico]

Certo Ingegnere, mi scuso, non avevo notato la presenza dell'equation editor.
Esercitandomi mi sono ritrovato di fronte allo studio di una nuova F.I. analoga che però mi ha creato qualche perplessità; mi può dire se ho seguito un procedimento corretto per liberarmi della F.I.?
La ringrazio cordialmente.

\[\lim_{x \to \infty }\frac{e^{\frac{x}{\sqrt{x-1}}}}x = \lim_{n \to \infty }\frac{e^{\frac{\sqrt{x^{2}}}{\sqrt{x-1}}}}{x} = (raccoglimento forzato) = \lim_{n \to \infty } \frac{e^{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1}}}}{x} = \frac{e^{^{\infty }}}{\infty x} = (proseguo con De L'Hopital) = \lim_{n \to \infty } \frac{e^{\sqrt{x}}\frac{1}{2{\sqrt{x}}}}{1} = \infty \cdot 0 = 0\]

[Vale90]

ciao ci sono passato anche io e ho sclerato un po nelle forme indeterminate, il piu` delle volte qunado si ha una forma:
\[\frac{\infty }{\infty }\]
basta raccogliere un fattore comune, ad esempio una x.
In questo caso all' esponente hai la seguente frazione:
\[\frac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{x-1}}\]
nella quale raccogliendo radice e successivamente la x diventa:
\[\frac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{x-1}} = \sqrt{\frac{x^2}{x-1}} = \sqrt{\frac{x^2}{x(1-\frac{1}{x})}} = \sqrt{\frac{x}{1-\frac{1}{x}}}\]
sapendo che \[\lim_{x \to \infty } \frac{1}{x} = 0\] possiamo dire che l'esponente e` \[\sqrt{x}\] da cui si ottiene :
\[\lim_{x \to \infty } \frac{e^\sqrt{x}}{x}\]
per tanto il tuo raccoglimento non e` forzato ma corretto bisogna solo prima raccogliere la radice e poi raccogliere i fattori comuni in questo caso la x.
quindi fino al passaggio prima di applicare De L'Hopital e` tutto correto, il problema e` dopo, perche` nonostante tu abbia applicato correttamente il teorema non ti sei reso conto che hai trovato un'altra forma indeterminata cioe`\[0 * \infty \] o \[\infty * 0\] che dir si voglia (per la proprieta` commutativa della moltiplicazione) per tanto in quel caso non serve applicare De L'Hopital, perche` essendoci all'esponente della e una radice la derivata continua a generarti un nuovo denominatore.

P.S. scusa se sono troppo prolisso nelle spiegazioni XD

[pappagallopolemico]

Vale grazie tante per la spiegazione, è stata davvero molto chiara. in verità ho utilizzato lo stesso procedimento seguito da te, ma ho saltato un po' di passaggi perchè avevo difficoltà nell'usare l'equation editor

Dunque, arrivati a

\[\lim_{n \to \infty } \frac{e^{\sqrt{x}}}{x}\]


come posso liberarmi di questa forma indeteriminata \[\frac{\infty }{\infty }\] ?

Grazie per l'aiuto

[Vale90]

Ciao scusa se non ho finito ieri ma ero un po di corsa.
Comunque io in questi casi applico la formula di Taylor per risolverlo se non lo conosci non importa, comunque sia ho guardato meglio questo limite e mi sono reso conto che non era sbagliata la tua idea di applicare De L'Hopital solo che lo dovevi applicare due volte infatti applicandolo una volta ottieni:
\[\boldsymbol{DLH \rightarrow} \lim_{n \to \infty} {\frac{e^\sqrt{n}}{2\sqrt{n}}} = \frac{1}{2} \cdot \lim_{n \to \infty} {\frac{e^\sqrt{n}}{\sqrt{n}}}\]
e applicandolo una seconda volta ottieni:
\[\boldsymbol{DLH^2 \rightarrow} \frac{1}{2}\cdot\lim_{n \to \infty} {e^{\sqrt{n}}\cdot 2\sqrt{n}} = \frac{2}{2}\cdot\lim_{n \to \infty} {e^{\sqrt{n}}\cdot \sqrt{n}} = 1\cdot\infty\cdot\infty = \infty\]
se ci fosse qualcosa di non chiaro chiedimi pure!