Limite funzione con base a

[wewillrockyou]

Ho un problema con questo limite, devo verificare che effettivamente il limite fa 0, tramite la definizione di convergenza ad un numero reale.
\[\lim_{n \to +\infty} (\frac{2}{3})^{n} = 0\]
Quindi verrebbe per ogni
\[\forall \varepsilon > 0,\exists v > 0,\forall n > v,\left| {{{(\frac{2}{3})}^n}} \right| < \varepsilon\]
Quindi la soluzione sarebbe
\[n < {\log _{\frac{2}{3}}}(\varepsilon )\]
Ma non dovrebbe venire n > di qualcosa?
Grazie

[maurizio.schirinzi]

Ciao,
l'errore è nella risoluzione della disequazione esponenziale...
infatti togliendo il valore assoluto (essendo l'esponenziale sempre positivo) si ha:
\[{(\frac{2}{3})^n} < \varepsilon \to n > {\log _{\frac{2}{3}}}(\varepsilon )\]
dove, nel passaggio di estrazione di n, il verso della disequazione si gira perchè il logaritmo è con la base <1 (per le proprietà dei logaritmi rispetto alle disuguaglianze!)...
essendo poi $\varepsilon$ molto piccolo (tendente a zero+) il logaritmo (con la base <1) tende a +infinito e quindi un numero molto grande positivo ($\nu $ >0) come richiesto dalla definizione di limite per n tendente a +infinito...

saluti

PS: Abbiamo effettuato alcune modifiche di formattazione al tuo messaggio per il non corretto uso di "equation editor". Ti prego di fare più attenzione nell'uso dello strumento di editor matematico per ottenere una corretta formattazione delle formule in modo che risultino più leggibili e comprensibili a tutti. Grazie.

[wewillrockyou]

Grazie mille! La prossima volta starò più attenta a scrivere il testo, era la prima volta che lo usavo e devo prenderci ancora mano
Grazie di tutto