Calcolo del limite dopo aver individuato la parte dominante

[KiraKaiji]

Buongiorno a tutti
L'esercizio richiede di trovare la parte principale del numeratore e del denominatore della funzione e poi calcolarne il limite per x→∞.
La funzione è la seguente: \[\frac{x^{2}+x^{2}sin(\frac{1}{x})+xe^{-x}}{xlogx+x+3x^{3}sin(1+\frac{1}{\sqrt[]{x}})}\]
Non riesco a trovare la parte principale perché mi danno fastidio le funzioni trigonometriche che in questo esercizio, insieme alla potenza mi creano la forma indeterminata 0⋅∞. Posso dire che il sin(1+1/√x), per x→∞ equivale a sin(1) il quale →0? Grazie

[maurizio.schirinzi]

Ciao,
per x che tende a +infinito a denominatore il seno non tende a zero come dici ma semplicemente a una quantità finita "sen(1)" minore di 1 (circa 0,84 con la calcolatrice) quindi a denominatore si può pensare che il comportamento asintotico della funzione per x tendente a +infinito sia del tipo:
\[x\log (x) + x + 3sen(1){x^3}\]
da cui raccogliendo la x si ha...
\[x(\log (x) + 1 + 3sen(1){x^2})\]
e riordinando per termini predominanti (per x tendente a +infinito)...
\[x(3sen(1){x^2} + \log (x) + 1)\]
per il seno(1/x) a numeratore invece, poichè 1/x tende a zero per x tendente a +infinito, possiamo approssimare il seno nell'intorno di zero (rispetto a 1/x) al primo ordine di Taylor con sen(1/x)=1/x... ne segue quindi che il numeratore si può riscrivere asintoticamente equivalente a...
\[{x^2} + {x^2}\frac{1}{x} + x{e^{ - x}} = {x^2} + x + x{e^{ - x}} = x(x + 1 + {e^{ - x}})\]
da cui si capisce che, semplificando la x raccolta dal numeratore e dal denominatore, si evidenzieranno (per x tendente a +infinito) i termini predominanti (o principali) del numeratore e del denominatore, che porteranno poi al calcolo del limite trascurando al numeratore i termini 1 ed e^-x mentre a denominatore trascurando log(x) e 1...

dunque per il limite si avrebbe...
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{x + 1 + {e^{ - x}}}}{{3sen(1){x^2} + \log (x) + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{x}{{3sen(1){x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1}{{3sen(1)x}} = 0\]

saluti