Chiarimento sulla risoluzione di una disequazione biquadratica

[otleo]

Salve a tutti,
guardando uno dei vostri video, mi sono imbattuto in una disequazione biquadratica:
\[3x^4+6x^2-1\geq 0\]

Sostituendo $t=x^2$ e risolvendo l'equazione associata, si ottengono le due seguenti soluzioni per $t$ :
\[t_{1}\leq \frac{-3-2\sqrt{3}}{3} \vee t_{2}\geq \frac{-3+2\sqrt{3}}{3}\]

Risostituendo $x^2=t$ , la prima disequazione non dà soluzioni nei reali (perché $x^2$ non può essere minore di un numero negativo), mentre invece la seconda disequazione si, e risulta:
\[x_{1}\leq -\sqrt{\frac{2\sqrt{3}-3}{3}} \vee x_{2}\geq +\sqrt{\frac{2\sqrt{3}-3}{3}}\]

Quindi potremo disegnare la linea delle x e mettere i punti $x_{1}$ e $x_{2}$ . A sinistra di $x_{1}$ abbiamo valori positivi (quindi la linea è continua) e stessa cosa a destra di $x_{2}$ . Mentre invece in mezzo vi è il tratteggio, che sta a indicare che i valori tra le due $x$ sono negativi.

E se invece la disequazione con $t_{1}$ fosse stata risolvibile? Come mi sarei dovuto comportare?
Avrei avuto due disequazioni (in $x^2$ ) da risolvere. Ma poi il grafico finale (quello per i segni) come si fa?

Se fosse possibile avere un esempio pratico da seguire, sarebbe anche meglio! Così imparo l'"algoritmo" nel modo corretto e non lo dimentico più

Grazie

[maurizio.schirinzi]

Ciao,

nel caso che anche la prima disequazione avesse fornito soluzioni in analoghi intervalli basterebbe "unire" le soluzioni, essendoci il simbolo di V tra le due disequazioni (la disequazione di 2° grado in t ha dato soluzioni esterne), riportare quindi tutti gli intervalli di soluzioni su un unico livello di studio come tracciato di positività (in risposta alla domanda ≥ 0 della disequazione biquadratica principale); i restanti intervalli per esclusione andranno riportati con tracciato negativo, per avere quindi complessivamente lo studio del segno completo, compresi i punti di azzeramento in corrispondenza della verifica della parte "equativa" delle disequazioni.

Tuttavia, al contrario, nel caso che la disequazione di 2° grado in t fornisse soluzioni interne alle radici t1 e t2 occorre invece fare una "intersezione" delle soluzioni delle disequazioni in x che ne derivano, secondo le procedure della teoria nel capitolo delle disequazioni biquadratiche di cui speriamo di produrre al più presto dei video-tutorials per chiarirne tutte le regole e procedimenti che qui sarebbe troppo lungo da raccontare.

Saluti

[otleo]

Quindi mi pare di capire che, nel caso in cui le soluzioni siano interne, le soluzioni nel grafico del segno dovranno essere riportate su più righe (perché bisogna fare un'intersezione delle soluzioni).

A differenza del caso in cui siano esterne (come nel nostro caso) dove bisogna metterle tutte sulla stessa riga, perché si tratta di una unione.

Ho capito bene?

[maurizio.schirinzi]

No! ...

Lo schema di intersezione (in sovrapposizione delle soluzioni su due livelli) va fatto prima di tracciare lo schema del segno del polinomio biquadratico. Occorre prima concludere definitivamente lo svolgimento della disequazione biquadratica per rispondere alla domanda di segno iniziale fatta (≥) sul polinomio biquadratico.

Solo allora, trovate le soluzioni finali della biquadratica, si riporta per quegli intervalli la positività del polinomio biquadratico e nei restanti la sua negatività, il tutto su un unico livello di studio!

NB: Attenzione a non confondere gli schemi dei segni con gli schemi di visualizzazione delle soluzioni per fare l'intersezione di più soluzioni! ...
... l'intersezione delle soluzioni è in pratica un sistema di disequazioni!

saluti

[otleo]

Credo di avere più chiara la situazione.
Riusciresti a indicarmi una disequazione biquadratica la cui risolvente mi dia 2 soluzioni reali positive distinte? In modo che poi la biquadratica ammetta 4 soluzioni reali distinte (o 3, nel caso di una soluzione nulla nella risolvente).
Ho sparato valori a caso ma ogni volta ottengo 2 soluzioni discordanti dalla risolvente

Basta che mi dici la disequazione e poi provo a risolverla io. E la scriverò qui per completare la discussione.
Ho bisogno di risolverne una in modo da avere un esempio pratico a portata di mano.

Grazie!

[maurizio.schirinzi]

Ecco un esempio di disequazione biquadratica che porta ad una intersezione delle soluzioni delle due disequazioni in x finali.
\[{x^4} - 3{x^2} + 2 \le 0\]
le soluzioni finali saranno:
\[- \sqrt 2 \le x \le - 1 \vee 1 \le x \le \sqrt 2\]

ciao

[otleo]

Scrivo la disequazione biquadratica da risolvere:
\[x^4-3x^2+2 \leq 0\]
Sostituisco $t = x^2$ e la disequazione diventa:
\[t^2-3t+2 \leq 0\]
Risolvo in $t$ l'equazione associata, $\Delta = 1$ dunque avremo due soluzioni reali distinte.
\[t_{1} = 1, t_{2}=2\]
La disequazione è positiva per i valori esterni alle $t$, ma la nostra disequazione ha il segno $\leq$ quindi è soddisfatta per i valori interni alle due $t$.
Adesso risostituisco $x^2=t$ e risolvo le due disequazioni rimaste, ottenendo $x_{1}=-1$, $x_{2}=1$, $x_{3}=-\sqrt{2}$ e $x_{4}=\sqrt{2}$.
Gli intervalli della $x$ che soddisfano le due disequazioni (facendo attenzione ai segni di queste ultime) sono:
\[x\leq -1 \vee x\geq 1\]
e
\[-\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}\]

Rimane da fare l'intersezione dei due intervalli, per ottenere gli intervalli:
\[-\sqrt{2} \leq x \leq -1 \vee 1 \leq x \leq \sqrt{2}\]

E' tutto corretto?

Ciò che ancora mi lascia perplesso... è il cosa e come disegnare i grafici che qui non ho potuto disegnare (quello dei segni, e quello delle intersezioni se esiste un tale grafico).

[maurizio.schirinzi]

Si è corretto!!

Ecco in allegato lo svolgimento alla lavagna con relativi schemi dei segni e di intersezione del sistema.

Non appena saranno disponibili i primi video-tutorials nella sezione "Algebra Base" chiariremo definitivamente ogni dubbio sugli studi dei segni e schemi di intersezione spesso fonte di confusioni dovute ad alcuni metodi didattici a mio parere "discutibili" e "superati" di alcuni insegnanti delle scuole superiori!

ciao

[otleo]

Evviva la lavagna Adesso è tutto chiaro.

Grazie mille per il supporto,
Ciao!