Ciao,
il limite si presenta in forma indeterminata 0/0 e non 0 per infinito, infatti... \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{e^{ - \frac{1}{x}}}}}{x} = \frac{{{e^{ - \frac{1}{{{0^ + }}}}}}}{{{0^ + }}} = \frac{{{e^{ - \infty }}}}{{{0^ + }}} = \frac{0}{0}\]
pertanto si potrebbe applicare la regola di De L'Hopital ma, applicandola mantenendo l'espressione della funzione nella forma originale, derivando il numeratore e denominatore, le derivate non semplificano l'espressione e il limite resta in forma indeterminata, cioè \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{e^{ - \frac{1}{x}}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{e^{ - \frac{1}{x}}} \cdot \frac{1}{{{x^2}}}}}{1} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{e^{ - \frac{1}{x}}}}}{{{x^2}}} = ...\]
si potrebbe effettuare un cambio di variabile passando ad una variabile che tende all'infinito ponendo t=1/x oppure si può riscrivere l'espressione portando l'esponenziale dal numeratore a denominatore (ribaltato) e la x dal denominatore al numeratore (ribaltata) ottenendo un limite che ora si presenterà in forma indeterminata infinito/infinito, cioè \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{e^{ - \frac{1}{x}}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\frac{1}{x}}}{{{e^{\frac{1}{x}}}}} = \frac{{ + \infty }}{{ + \infty }}\] dove potremmo applicare ancora la regola di De L'Hopital ottenendo: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\frac{1}{x}}}{{{e^{\frac{1}{x}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{ - \frac{1}{{{x^2}}}}}{{{e^{\frac{1}{x}}}( - \frac{1}{{{x^2}}})}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{{e^{\frac{1}{x}}}}} = \frac{1}{{{e^{\frac{1}{{{0^ + }}}}}}} = \frac{1}{{{e^{ + \infty }}}} = 0\]
Ciao
PS: Ti prego di provare ad allenarti bene con l'Equation Editor per mantenere nel forum una più comoda e piacevole lettura delle formule matematiche che incentivi gli utenti a rispondere ai quesiti più volentieri.
Se hai difficoltà con l'Equation Editor nel forum di supporto ci sono alcune istruzioni e dei link ad alcuni siti guida per allenarsi un pò.
Come si scrivono le formule : ASCII-MathML e LaTeX (Tex)In alternativa puoi sempre usare un più comodo software esterno (tipo ad esempio MathType o simili) che formatta le formule in formato LaTex standard e poi incollare il codice direttamente nel post. Grazie.
