Risoluzione estremi di funzione a due variabili

[otleo]

Salve, ho dei dubbi nello svolgimento del seguente problema, devo trovare massimi, minimi ed eventuali selle della funzione:
\[f(x,y)=x^2y^2(x^2+y^2-4)\]
La funzione sembra semplice (anche perché non vi è alcun vincolo), peccato che poi il sistema delle derivate prime parziali (gradiente?) viene abbastanza complicato.
Le derivate parziali sono:
\[\left\{\begin{matrix}
f_{x}=4x^3y^2+2xy^4-8xy^2=0 \\ f_{y}=2x^4y+4x^2y^3-8x^2y=0
\end{matrix}\right.\]
Raccogliendo:
\[\left\{\begin{matrix}
f_{x}=xy^2(2x^2+y^2-4)=0 \\ f_{y}=x^2y(x^2+2y^2-4)=0
\end{matrix}\right.\]
Dunque cerco di risolvere correttamente il sistema.
La prima equazione del sistema è verificata per:
\[x=0 \vee y=0 \vee (2x^2+y^2-4)=0\]
Quindi sostituisco questi valori nella seconda equazione per vedere come si comporta quest'ultima e verificare se i punti verificano l'intero sistema:
Nella seconda equazione, se $x=0$, allora l'equazione è verificata per qualsiasi valore di $y$. Quindi i punti della forma $(0, y)$ con $y\in \mathbb{R}$ sono punti stazionari della funzione $f(x, y)$;
Sempre nella seconda equazione, $y=0\Rightarrow f_{y}=0 , \forall x \in \mathbb{R}$, quindi i punti della forma $(x, 0)$ con $x \in \mathbb{R}$ sono anch'essi punti stazionari della funzione $f(x, y)$.
Adesso viene il turno del terzo e ultimo fattore di $f_{x}$ da verificare nella seconda equazione.
\[2x^2+y^2-4=0 \Rightarrow y^2=4-2x^2 \Rightarrow y=\pm \sqrt{4-2x^2}\]
Quindi sostituendo nella seconda equazione si ha:
\[x^2(\pm \sqrt{4-2x^2})(x^2+2(4-2x^2)-4)=0\]
E adesso, da qui in poi... ho bisogno di aiuto perché non so come andare avanti

So che dopo aver trovato i punti stazionari, potrò calcolare le derivate parziali seconde e utilizzare la matrice Hessiana per capire se si tratta di punti di minimo, massimo o flesso. Ma come mi comporto con quei punti della forma $(0, y)$ o $(x, 0)$? Sono infiniti!

Grazie in anticipo!

[maurizio.schirinzi]

Ciao, \[f(x,y)=x^2y^2(x^2+y^2-4)\]
riguardo la risoluzione del sistema delle derivate parziali prime, relativamente ai fattori polinomiali \[\left\{\begin{matrix}
(2x^2+y^2-4)=0 \\ (x^2+2y^2-4)=0
\end{matrix}\right.\]
dato che per fortuna si presentano con le incognite x e y solo al quadrato, conviene risolvere il sistema rispetto a queste cioè rispetto a x^2 e y^2 ottenendo più semplicemente \[{x^2} = \frac{4}{3} \to x = \pm \frac{2}{{\sqrt 3 }}\] e \[{y^2} = \frac{4}{3} \to y = \pm \frac{2}{{\sqrt 3 }}\]
si noti che il sistema è "simmetrico" rispetto a x e y e quindi le soluzioni vengono simmetriche!

Per quanto riguarda i punti del tipo (x,0) e (y,0) come procedimento generale, essendo infiniti, basterebbe di solito sostituire nella funzione iniziale prima y=0 per ottenere una funzione nella sola x, che è possibile studiare con la classica derivata prima rispetto alla x per trovare i max e min rispetto a x; e poi sostituire x=0 per ottenere una funzione nella sola y da studiare con la derivata prima rispetto alla sola y per trovare tutti gli eventuali max e min rispetto a y.

Tuttavia nel nostro caso ci si rende subito conto che sostituendo x=0 o y=0 la funzione si azzera sempre in tutti quei punti, pertanto la "quota" zero della funzione (possibile situazione di infiniti punti di max o di min) sarà da confrontare con le quote degli altri max e minimi relativi trovati con l'hessiano (che saranno minimi relativi e assoluti) e questo ci farà capire se la quota zero della funzione è da considerarsi un max o min (relativo o assoluto) rispetto alle quote degli altri max e min.

Nel nostro caso si intuisce che poichè la funzione avrà negli altri punti dei minimi relativi e poichè è illimitata verso +infinito per x e y tendenti a +-infinito, allora questi punti (x,0) e (y,0) non saranno di max assoluto ma saranno infiniti punti di max relativo come si vede dal grafico allegato.
D'altra parte da una analisi nell'intorno di (0,0) si capisce che per valori di x e y piccolissimi la funzione assume valori negativi (studio del segno nell'intorno di zero) e poichè esattamente in (0,0) assume valore zero quest'ultimo sarà anch'esso un punto di max relativo.

saluti

[otleo]

Ho visto che hai preso in considerazione i soli fattori polinomiali... come mai posso fare una cosa del genere? Senza preoccuparmi di risostituire le soluzioni negli altri fattori delle derivate parziali... cioè magari sostituendo vedo che effettivamente non cambia nulla, ma come capisco QUANDO posso procedere in questo modo?

Te lo chiedo perché (prendendo in considerazione solo le parti polinomiali, ignorando dunque gli altri fattori delle derivate parziali) il calcolo degli zeri si è semplificato tantissimo.

Per quanto riguarda la discussione dei punti infiniti... credo di aver capito il tutto.
Solo mi rimane il seguente dubbio:
nel caso della mia funzione... sostituendo x=0 o y=0 la funzione si azzera. Ma nel caso in cui ciò non fosse avvenuto? Avrei avuto lo studio della funzione una volta rispetto la x e una volta rispetto la y... cosa posso fare con i minimi/massimi della funzione rispetto una singola variabile? Come metto insieme gli eventuali dati trovati? Si suppone che la funzione debba studiarla tenendo conto di entrambe le variabili... no? Se trovo i dati per una singola variabile alla volta... come unisco il tutto? O non devo unire nulla? (Lo so... forse ho poco chiara la teoria dietro le funzioni con più variabili... senza forse )

Grazie per la spiegazione e per il grafico, fondamentali per capire il discorso!

[maurizio.schirinzi]

Ho preso in considerazione i soli fattori polinomiali perchè avevi richiesto come procedere nella risoluzione delle equazioni che derivano da quei fattori polinomiali; ovviamente vanno considerati anche i fattori monomi che però portano alle banali soluzioni x=0 e y=0 di cui abbiamo già discusso.

Riguardo al metodo di sostituzione in una sola variabile, sostituendo y=0 nella funzione, studio la funzione nella sola x e trovo i max e min relativi rispetto a x e una volta trovate le x le accoppio con le y sostituite per trovare sempre la coppia (x,y); analogamente, sostituendo x=0 nella funzione, studio la funzione nella sola y con la derivata rispetto a y e trovo i max e min rispetto a y e poi li vado ad accoppiare con il valore di x sostituito per ottenere sempre la coppia (x,y) dove si verifica il max o min. Non occorre fare nessun'altra considerazione teorica.

Ciao

[otleo]

Riguardo al metodo di sostituzione in una sola variabile, sostituendo y=0 nella funzione, studio la funzione nella sola x e trovo i max e min relativi rispetto a x e una volta trovate le x le accoppio con le y sostituite per trovare sempre la coppia (x,y); analogamente, sostituendo x=0 nella funzione, studio la funzione nella sola y con la derivata rispetto a y e trovo i max e min rispetto a y e poi li vado ad accoppiare con il valore di x sostituito per ottenere sempre la coppia (x,y) dove si verifica il max o min.

Ho evidenziato in grassetto e in sottolineato le parti che non sono sicuro di aver compreso.

Le x che trovo in f(x,0) le dovrò accoppiare con le y che trovo in f(0,y), è questo che devo fare?
O devo accoppiare le x con 0 (nella forma (x trovate, 0)) e poi le y con con 0 (nella forma (0, y trovate))?

Una f(x,y) di test mi farebbe comodo per capire questo pezzo.

Per quanto riguarda lo svolgimento del mio esercizio a inizio discussione, abbiamo dunque ottenuto i punti stazionari:
\[(0,y), (x,0), (\pm \frac{2}{\sqrt{3}} ,\pm \frac{2}{\sqrt{3}} )\]
Adesso devo calcolare le derivate parziali seconde $f_{xx}$, $f_{yy}$ e quella mista $f_{xy}$ (che generalmente è uguale a $f_{yx}$ quindi credo di poter saltare il calcolo di $f_{yx}$ a meno che non voglio verificare).

Trovate queste espressioni, scrivo la matrice Hessiana per le funzioni a due variabili così costruita:
\[H = H(P_0)f=\begin{pmatrix}
f_{xx}(P_0) & f_{xy}(P_0)\\
f_{xy}(P_0) & f_{yy}(P_0)
\end{pmatrix}\]
e sostituendo nella matrice i valori analoghi ai vari punti stazionari trovati, a seconda del segno del determinante che ottengo e ai segni di $f_{xx}$ e $f_{yy}$, dedurrò se si tratta di punti di minimo, massimo o sella.

Fortunatamente nel mio caso mi basta calcolare solo una volta il determinante, perché i quattro punti stazionari (non quelli infiniti) hanno un segno che non mi cambia il determinante... altrimenti avrei dovuto fare molti calcoli

Riguardo i "due" punti stazionari $(x,0)$ e $(0,y)$ cosa dovrei scrivere? Dovrei fare tutto il discorso che hai fatto tu immagino... cioè mettere a confronto il valore della funzione in quel punto $(0,0)$ con i valori che la funzione assume negli altri punti estremi... O valutare l'intorno del punto e capire se si tratta di un minimo relativo o massimo relativo (nel caso della mia funzione abbiamo compreso che si tratta di infiniti punti di massimo perché la funzione nell'intorno dei punti assume valori negativi mentre invece nel punto assume valore 0).

[maurizio.schirinzi]

Riguardo alla sostituzione la cosa è molto semplice.
Se ad esempio sostituisco y=3 nella funzione e ottengo una funzione della sola x, la studio con le derivate e trovo la x dove si verifica il max o min; ad esempio supponiamo che x=5 sia il punto di max relativo. A questo punto trovata la x è ovvio che la y corrispondente sarà quella fissata cioè y=3, dunque il punto di max relativo sarà (x,y)=(5,3)!

Riguardo ai punti (x,0) e (0,y), essendo infiniti, vanno studiati con i ragionamenti fatti nei post precedenti, mentre il punto (0,0) a rigore andrebbe studiato a parte con il ragionamento nel suo intorno, ma essendo in questo caso un punto che appartiene contemporaneamente sia all'insieme dei punti (x,0) che all'insieme dei punti (0,y), allora sarà anch'esso un max relativo come gli altri! Tuttavia in altri casi quel punto potrebbe avere un comportamento diverso, cioè potrebbe essere ad esempio un punto di sella!

Ciao

[otleo]

Tra l'altro sembra essere l'unico modo per studiare questi punti infiniti in questa funzione... perché provando con la matrice Hessiana, per esempio nel punto (0,1), il determinante viene 0 ed è un test inconclusivo... no?
La Hessiana mi aiuta solo quando ho valori del determinante >0 o <0.

[maurizio.schirinzi]

Si! ... l'Hessiano funziona solo quando è diverso da zero! Purtroppo i punti particolari vanno sempre trattati a parte con tecniche di studio nell'intorno varie che non sempre portano a risultati concreti... a volte bisogna rinunciare al loro studio esattamente come nell'ambito delle funzioni di una variabile rinunciamo allo studio dei max e min quando non si riesce a studiare il segno della derivata prima con tecniche algebriche.
In quei casi solo con procedimenti e tecniche numeriche (quindi al computer) si riesce a capire il comportamento di quei punti.