Sto scrivendo principalmente per sapere due cose riguardo il seguente esercizio:
1. E' corretto?
2. Ci sono metodi più semplici per risolverlo? Qualcuno mi ha fatto notare che la funzione rappresenta una circonferenza... e quindi? Come mi aiuta questa informazione? Potrei evitare dei passaggi?
Procedo con la stesura. Ecco la funzione $f(x,y)$ e il vincolo $g(x,y)$:
\[f(x,y)=x^2+y^2\]
\[g(x,y)=x^2+2x+y^2+2y=7\]
Scrivo la funzione lagrangiana annessa:
\[L(x,y,\lambda )= f(x,y)+\lambda g(x,y)= x^2+y^2+\lambda (x^2+2x+y^2+2y-7)\]
E calcolo il gradiente:
\[\left\{\begin{matrix}
L_x=2x+2\lambda x+2\lambda = 0\\
L_y=2y+2\lambda y+2\lambda = 0\\
L_\lambda =x^2+2x+y^2+2y-7=0
\end{matrix}\right.
\left\{\begin{matrix}
x+\lambda x+\lambda = 0\\
y+\lambda y+\lambda = 0\\
x^2+2x+y^2+2y-7=0
\end{matrix}\right.
\left\{\begin{matrix}
x=-\frac{\lambda }{1+\lambda }\\
y=-\frac{\lambda }{1+\lambda }\\
2x^2+4x-7=0
\end{matrix}\right.\]
In pratica ho notato che x e y sono uguali, quindi ho scritto la terza equazione in funzione della sola $x$. Le radici di di $x$ nella terza equazione sono: $x_1=-1-\frac{3}{\sqrt{2}}$ e $x_2=-1+\frac{3}{\sqrt{2}}$. Quindi la risoluzione del sistema si divide in due (uno per ogni valore della x).
Per $x=-1-\frac{3}{\sqrt{2}}$:
\[\left\{\begin{matrix}
x = -1-\frac{3}{\sqrt{2}}\\
y = -1-\frac{3}{\sqrt{2}}\\
\lambda=-\frac{\sqrt{2}}{3}-1
\end{matrix}\right.\]
Per $x=-1+\frac{3}{\sqrt{2}}$:
\[\left\{\begin{matrix}
x = -1+\frac{3}{\sqrt{2}}\\
y = -1+\frac{3}{\sqrt{2}}\\
\lambda=\frac{\sqrt{2}}{3}-1
\end{matrix}\right.\]
In pratica, in entrambi i sistemi, il valore di $\lambda $ è dato dall'espressione $-\frac{x}{1+x}$.
Dalla risoluzione del precedente sistema ho quindi ottenuto due punti stazionari della lagrangiana:
\[P_0=(-\frac{3}{\sqrt{2}}-1, -\frac{3}{\sqrt{2}}-1, -\frac{\sqrt{2}}{3}-1)\]
\[P_1=(\frac{3}{\sqrt{2}}-1, \frac{3}{\sqrt{2}}-1, \frac{\sqrt{2}}{3}-1)\]
A questo punto calcolo le espressioni delle derivate seconde parziali della lagrangiana, e le derivate parziali prime della funzione vincolo. Mi serviranno nella matrice Hessiana orlata.
Espressioni delle varie derivate parziali:
\[g_x=2x+2\\
g_y=2y+2\\
L_{xx}=2\lambda +2\\
L_{yy}=2\lambda +2\\
L_{xy}=L_{yx}=0\]
Scrivo i valori per i due punti direttamente nelle matrici hessiane orlate:
\[\left | H_0 \right |=\begin{vmatrix}
0 & -\frac{6}{\sqrt{2}} & -\frac{6}{\sqrt{2}}\\
-\frac{6}{\sqrt{2}} & -\frac{2\sqrt{2}}{3} & 0\\
-\frac{6}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{2\sqrt{2}}{3}
\end{vmatrix}=24\sqrt{2}\]
\[\left | H_1 \right |=\begin{vmatrix}
0 & \frac{6}{\sqrt{2}} & \frac{6}{\sqrt{2}}\\
\frac{6}{\sqrt{2}} & \frac{2\sqrt{2}}{3} & 0\\
\frac{6}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{2\sqrt{2}}{3}
\end{vmatrix}=-24\sqrt{2}\]
Da questi risultati si evince che il punto $P_0$ è un punto di massimo relativo, mentre il punto $P_1$ è un punto di massimo relativo.
Grazie!
