Risoluzione gradiente funzione a due variabili

[otleo]

Salve, ho problemi per trovare gli estremi della seguente funzione:
\[f(x,y)=x^3y-xy^3-xy\]
So già che questa funzione non ha punti di massimo e di minimo, però so che presenta dei punti di sella.

Però non riesco a risolverne meccanicamente il gradiente... potreste mostrarmi un procedimento che va bene per tutti i sistemi in generale?

\[\left\{\begin{matrix}
f_x=3x^2y-y^3-y=0\\
f_y=x^3-3xy^2-x=0
\end{matrix}\right.
\left\{\begin{matrix}
y(3x^2-y^2-1)=0\\
x(x^2-3y^2-1)=0
\end{matrix}\right.\]

Se nella prima equazione eguaglio $y^2 = 3x^2-1$ e sostituendo nella seconda equazione trovo che $y^2=-\frac{1}{4}$ il ché è impossibile (nei reali).

Un aiutino?

Grazie!

[maurizio.schirinzi]

Ciao,

a me, dopo la sostituzione di \[{y^2} = 3{x^2} - 1\] nella seconda equazione viene:
\[{x^2} - 3(3{x^2} - 1) - 1 = 0 \to {x^2} - 9{x^2} + 3 - 1 = 0 \to - 8{x^2} + 2 = 0 \to - 8{x^2} = - 2 \to {x^2} = \frac{1}{4} \to x = \pm \frac{1}{2}\]
Purtroppo trattandosi di solito di sistemi non lineari non esiste un procedimento o regola generale ma tecniche da provare caso per caso e in alcuni casi, quando le equazioni sono troppo complesse, occorre rinunciare al calcolo algebrico manuale e ricorrere per forza a tecniche numeriche al computer.

[otleo]

Si, fino a qui è come l'ho fatto io, però poi risostituendo $x^2=\frac{1}{4}$ nella prima equazione... questa da la soluzione impossibile (nei reali) che ho detto prima.

Quindi questo non dovrebbe essere un punto critico... no?

[maurizio.schirinzi]

SI !! ... scusa ma non avevo capito che avevi poi ri-sostituito nella prima equazione...

Infatti non ci sono punti critici di Max/Min relativi ma c'è un punto critico (0,0) dove le derivate parziali sono nulle; si noti che i punti critici si chiamano tali se si annullano le derivate (gradiente) a prescindere se sono poi punti di max/min o sella.

Per il punto (0,0), poichè l'Hessiano viene negativo si ha un punto di sella, come si potrebbe dedurre anche indagando sul comportamento della funzione nell'intorno; infatti come di deduce dall'analisi del segno della funzione nell'intorno di (0,0), per alcuni punti dell'intorno la funzione è positiva per altri negativa cioè raccogliendo il fattore xy dalla funzione si ha: \[f(x,y) = y{x^3} - x{y^3} - xy = xy({x^2} - {y^2} - 1)\]
si noti che il fattore $({x^2} - {y^2} - 1)$ è negativo per valori piccoli di x e y ...
inoltre se prendiamo valori piccoli positivi di x con valori piccoli negativi di y la f complessivamente è positiva (compreso il fattore di prima negativo) e se invece prendiamo valori piccoli positivi sia di x che di y la f complessivamente è negativa (con il fattore di prima ancora negativo)... dunque possiamo concludere certamente che si ha un punto di sella come si evince anche dal grafico allegato.

ciao

[otleo]

Grazie per la spiegazione

Verificando i punti critici con WolframAlpha, ho notato che quest'ultimo mi elenca i punti di cui abbiamo parlato (anche quelli nei complessi), e però segnala anche il punto critico $(\pm 1, 0)$.

E nello schemino sotto che fa WolframAlpha, si vede che la seconda equazione passa per il punto -1 e +1.

Mica sai il perché?

EDIT: ho notato solo adesso che in realtà non ci sono punti critici infiniti... non so perché nel primo post avevo scritto che vi erano infiniti punti della forma $(x, 0)$ e $(0, y)$. Probabilmente ero bloccato mentalmente su un'altra funzione e su un altro gradiente.

Grazie.

[otleo]

Avrei ancora una domanda riguardo questa funzione.

La funzione presenta 9 punti critici, di cui 6 nei complessi.
Questi punti nei complessi devo studiarli con la matrice hessiana? Devo ignorarli?
Se devo/posso studiarli, come si fa?

[maurizio.schirinzi]

Normalmente lo studio delle funzioni di 2 variabili, quando non diversamente specificato, si intente in R cioè una funzione \[f:{R^2} \to R,(x,y) \to z = f(x,y)\] in caso contrario dovrebbe essere precisato l'ambito complesso e quindi una funzione del tipo \[f:{C^2} \to C,(u,v) \to z = f(u,v)\] dove qui u,v,z sono tutti numeri complessi! ... ma non credo che nel tuo programma universitario sono previste cose di questo tipo che possono essere anche molto difficili, se non addirittura impossibili, da gestire con "normali" tecniche algebriche.

Si potrebbe infine osservare che ${R^2}$ si potrebbe anche pensare come il piano complesso, cioè essendo $C = {R^2}$ la nostra funzione la si potrebbe pensare anche cosi: \[f:{C} \to R,z \to u = f(z)\] dove u è un numero reale e z è un numero complesso z=(x,y) rappresentato come coppia di numeri reali (parte reale x e parte immaginaria y).

[otleo]

Perfetto, meno roba da fare durante l'esame scritto!

Grazie!