Studio di funzione esponenziale

[dario]

Salve, nel compito che avrei dovuto svolgere all'università c'era lo studio della seguente funzione: f(x)= [x]e^x, potete aiutarmi?
Grazie
Dario

[maurizio.schirinzi]

Ciao, cosa intenti per [x] ? ... il "valore assoluto" o la "parte intera"?

Ti prego di usare l'equation editor per scrivere le formule in modo che sia più comprensibile e non ci siano ambiguità nelle simbologie; ecco le due funzioni come apparirebbero: \[f(x) = \left| x \right|{e^x}\] \[f(x) = \left[ x \right]{e^x}\] a rigore poi, nel caso della funzione parte intera, occorrerebbe precisare se è parte intera "superiore" $\left\lceil x \right\rceil $ o "inferiore" $\left\lfloor x \right\rfloor $

[dario]

Ok, mi perdoni ma sto iniziando a prendere ora dimestichezza con il sito, si intendo valore assoluto di x per e elevato ad x,
grazie

[maurizio.schirinzi]

Ciao, \[f(x) = \left| x \right|{e^x}\] non potendo, per ovvi motivi, postare uno studio completo e dettagliato della funzione, riporto i risultati essenziali:

- Dominio: tutto R
- Punti singolari: nessuno
- Punti sospetti di continuità/derivabilità: x=0 (punto di apertura del valore assoluto); in x=0 risulta continua ma non derivabile con derivabilità destra +1 e sinistra -1 (punto angoloso)
- Studio del segno: sempre positiva tranne il punto x=0 dove si annulla (intersezione con asse x)
- Asintoti Verticali: nessuno
- Asintoti Orizzontali: solo per x tendente a -infinito; asintoto asse x (y=0). Per x tendente a +infinito la funzione tende a +infinito (senza asintoti obliqui)
- Derivata prima: punto di massimo relativo per x=-1; per x=0 si ha un minimo relativo come punto angoloso di non derivabilità
- Derivata seconda: flesso in x=-2
- Grafico: in allegato

Nella sezione dei video-tutorials di esercizi nel sito troverai alcune funzioni con valore assoluto dove potrai comprendere le tecniche di studio a cavallo dei punti di separazione (o apertura) del valore assoluto nello studio della derivabilità per la determinazione degli eventuali punti angolosi.

Saluti.

PS: La funzione è stata archiviata nel nostro database e verrà svolta in un futuro video-tutorial con tempi non preventivabili.

[dario]

Ingegnere la ringrazio per la risposta e la chiarezza, se è possibile vorrei farle una ulteriore domanda sulla funzione: potrebbe spiegarmi come ha svolto i limiti per x che tende a più o meno infinito nella ricerca degli asintoti orizzontali? Grazie
Buona sera

[maurizio.schirinzi]

Ciao, per calcolare il limite per x che tende a +infinito e -infinito occorre aprire i due casi del valore assoluto:
- nel caso di x che tende a +infinito si ha subito un limite immediato: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left| x \right|{e^x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x{e^x} = ( + \infty )({e^{ + \infty }}) = ( + \infty )( + \infty ) = + \infty \]
- nel caso di x che tende a -infinito si ha la forma indeterminata 0 x infinito che va eliminata ribaltando l'esponenziale a denominatore per trasformarla nella forma indeterminata infinito su infinito dove sappiamo che "vincerà" l'ordine di grandezza dell'esponenziale; oppure si potrebbe anche applicare De L'Hopital: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left| x \right|{e^x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } [ - x{e^x}] = ( + \infty )({e^{ - \infty }}) = ( + \infty )(0)\] \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } [ - x{e^x}] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } [\frac{{ - x}}{{{e^{ - x}}}}] = \frac{{ - \infty }}{{{e^{ + \infty }}}} = \frac{{ - \infty }}{{ + \infty }} = \frac{\infty }{\infty }\] \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } [\frac{{ - x}}{{{e^{ - x}}}}] = 0\]
saluti

PS: Essendo l'argomento proposto uno studio completo di funzione, risulta più appropriato spostarlo nella corrispondente sezione dedicata allo "Studio Analitico Completo". Lo User Admin provvederà a spostare questo argomento nella sezione opportuna.

[dario]

Ingegnere ancora grazie e complimenti per l'efficienza e l'organizzazione del sito, vorrei porle un'altra domanda sempre sulla stessa funzione riguardante l'analisi della crescenza/decrescenza di una funzione con valore assoluto e esponenziale: quando si esegue la derivata prima di una funzione con valore assoluto se non ho capito male bisogna aprire la scatola del valore assoluto e derivare singolarmente i due casi del valore assoluto e poi studiarne il segno, corretto? Mentre per quanto riguarda la derivata di un esponenziale con base numero di Nepero come si esegue la sua derivata? Rimane sempre \[e^{x}\]? grazie.

Buona sera

[maurizio.schirinzi]

Certamente, quando c'è un valore assoluto da qualche parte nella funzione da derivare occorre aprire il valore assoluto in tutte le sue zone di separazione dei casi, studiando le corrispondenti funzioni per casi e derivandole nelle rispettive zone con le regole di derivazione.
Tutti i punti di separazione del valore assoluto, a cavallo da un caso all'altro, vanno studiati separatamente come punti sospetti di derivabilità per classificarne il tipo (punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale).

Ti potranno essere di aiuto i video-tutorials disponibili sul sito sia nella sezione di "Studio completo di funzioni con valore assoluto" che nella sezione "Studio della derivabilità e continuità".

La derivata di $e^{x}$ è sempre $e^{x}$.

Saluti.