Definizione e verifica di un limite

[dario]

Buon giorno, non capisco come si esegue la verifica di un limite, in un compito ad esempio ho trovato il seguente esercizio: verificare che il limite è corretto: \[\lim_{x \to -3} (x^2-2)=7\]
Cosa si deve fare?
Grazie

[maurizio.schirinzi]

Trattandosi di un limite finito per x tendente a un numero finito occorre applicare la definizione relativa a quel caso come visto nella teoria: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = l\] \[\forall \varepsilon > 0,\varepsilon < < 1,\exists \delta > 0,\delta < < 1,\forall x \in ]{x_0} - \delta ,{x_0} + \delta [ - \{ {x_0}\} ,l - \varepsilon < f(x) < l + \varepsilon \] quindi nel caso specifico del limite \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} ({x^2} - 2) = 7\] occorre verificare che \[\forall \varepsilon > 0,\varepsilon < < 1,\exists \delta > 0,\delta < < 1,\forall x \in ] - 3 - \delta , - 3 + \delta [ - \{ - 3\} ,7 - \varepsilon < {x^2} - 2 < 7 + \varepsilon \] e pertanto partendo dalla disequazione \[7 - \varepsilon < {x^2} - 2 < 7 + \varepsilon \] occorre verificare che abbia delle soluzioni in un intorno piccolo ($\delta$ piccolo) di -3 (e per qualsiasi valore di $\varepsilon$ positivo e piccolo) e cioè soluzioni per \[ - 3 - \delta < x < - 3 + \delta \]
saluti

PS: La formula che hai postato era formattata male! Lo User Admin ha corretto il tuo post. Nell'uso dell' Equation Editor di prego di fare attenzione alla corretta formattazione delle formule; puntando il mouse su ogni bottone dell' Equation Editor noterai il suggerimento corretto del codice LaTex da formattare e, mentre componi il codice, potrai contemporaneamente vedere l'anteprima di come apparirà la formula nel box sottostante prima di copiare il codice nel post. Grazie.

[florinda]

io invece vorrei sapere la differenza tra: funzione regolare, convergente e divergente. Ad esempio nel mio compito c era una funzione f(x): senx+2x con x>o ; 2x con x<0. La domanda era, dire se il limite di x che tenda a + infinto è regolare. Allora io ho risposto di si, xkè entrambe vanno a + infinito. Cioè le dico come ho ragionato in base alle nozioni che ho.
Sul mio quaderno ho questi appunti:
1) si dice che la funzione è regolare in x° se esiste il limite ed appartiene ad R ampliato. (ho dedotto che per esistenza del limite significa che il limite dx e sx per x che tende a x° è uguale)
2)si dice che la funzione è convergente se il limite è numero reale
3) si dice che è divergente se il limite è *o- infinito

Quindi il mio dubbio è, la mia funzione è regolare perchè esiste il limite o è divergente perchè il limite è un numero infinito?

[maurizio.schirinzi]

Ciao,
premesso che "Regolare" può voler dire tante cose e non esiste una notazione standard, secondo il tuo prof sembrerebbe che per regolare si intende che la funzione ammetta limite (finito o infinito, destro e/o sinistro che sia) ... cioè da come è scritto "si dice che la funzione è regolare in x° se esiste il limite ed appartiene ad R ampliato", vuol dire che il limite deve semplicemente esistere e non necessariamente il destro uguale al sinistro, tant'è che per x che tende a +infinito non si può parlare di limite "destro" (a destra di + infinito non c'è niente!) ma solo di limite per x che tende a +infinito!!
Non regolare sarebbe quindi, sempre secondo il tuo prof, una funzione che non ammette limite perché il limite non esiste o oscilla (indeterminato).

Pertanto la funzione da te postata ha limite +infinito per x tendente a +infinito (dunque il limite esiste, cioè appartiene a R esteso o ampliato!) quindi direi che è regolare ed è anche divergente positivamente proprio perché il limite è +infinito.

saluti