Determinazione dominio e segno di f

[Asino]

Ciao a tutti, potreste indicarmi qual'è il dominio e come determinare il segno di questa funzione?

Data la funzione f (x) = 1/x - 1/radice quadrata di x^2 - 4

Grazie.

[maurizio.schirinzi]

Ciao, \[f(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}\]
- il domino è : \[D = ] - \infty , - 2[ \cup ]2, + \infty [\]
- per lo studio del segno occorre riscrivere la funzione con un'unica frazione in modo da poter studiare i segni del numeratore e denominatore con le classiche tecniche dello studio dei segni viste in algebra: \[f(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = \frac{{\sqrt {{x^2} - 4} - x}}{{x\sqrt {{x^2} - 4} }} \ge 0\]

saluti

PS: Ti prego di utilizzare lo strumento Equation Editor per scrivere le formule matematiche in modo corretto, per consentire a tutti una più piacevole lettura dei post e soprattutto per far si che gli utenti si rendano più disponibili a rispondere alle domande. Grazie.

[Asino]

il dominio calcolato da me coincide, ma lo studio del segno non riesco a portarlo a termine, pur avendo razionalizzato la funzione, mi ritrovo con un cubo di monomio che complica tutto

[maurizio.schirinzi]

\[f(x) = \frac{{\sqrt {{x^2} - 4} - x}}{{x\sqrt {{x^2} - 4} }}\]
Non devi razionalizzare il denominatore; lo studio del segno dei fattori a denominatore è banale: la x è positiva per x>0 e negativa per x<0, la radice è sempre positiva quando esiste (nel suo dominio); resta solo da studiare il segno del numeratore che necessita di impostare una domanda di disequazione irrazionale: \[\sqrt {{x^2} - 4} - x \ge 0\]
da risolvere con le dettagliate tecniche viste nel capitolo delle disequazioni irrazionali alle scuole superiori.

Saluti