Notazione "o piccolo" e simboli di Landau

[ascaplboh]

Il mio prof. usa molto la notazione "o piccolo" con Taylor, come mai non la ritrovo nei tuoi video?

[maurizio.schirinzi]

I simboli di Landau (o piccolo) sono sostanzialmente dei simboli formali e rigorosi per indicare i termini dello sviluppo di Taylor che sono trascurabili rispetto ai termini "dominanti" dello sviluppo e che "mantengono in gioco" il calcolo del limite senza "ricascare" in forma indeterminata.
Nella teoria occorre fare sicuramente un uso rigoroso di questi simboli per le dimostrazioni formali dei teoremi e per giustificare la trascurabilità di alcuni termini rispetto ad altri, ma nella pratica degli esercizi spesso se ne può fare a meno (almeno nei limiti meno complessi) tanto alla fine quei "pezzi" saranno certamente trascurabili e quindi ignorabili nei passaggi finali del calcolo del limite.

Io preferisco non usarli per non appesantire inutilmente i passaggi di calcolo del limite e, se avrai notato nei video, nel passaggio dove applico lo sviluppo di Taylor all'ordine scelto, metto sotto al simbolo di uguale un segno di approssimazione che sta "sommariamente" ad indicare che ho già trascurato tutti gli "o piccolo" e porto avanti il calcolo del limite normalmente con i termini dominanti rimanenti.
Un altro motivo per cui uso questa modalità e perché i video sono pensati anche per gli studenti delle scuole superiori dove di solito non vengono trattati i più rigorosi simboli di Landau neanche nella teoria.

Ovviamente se il tuo prof universitario richiede una trattazione rigorosa e più formale dei passaggi di calcolo di un limite con Taylor occorre per forza utilizzarla, fermo restando ovviamente che, in alcuni casi di calcolo di limiti più complessi, la notazione di Landau risulta fondamentale per confrontare i diversi ordini degli infinitesimi gli uni rispetto agli altri, e per poter poi trascurare alcuni termini che si rende necessario trascurare prima rispetto a quelli che si rende necessario trascurare dopo. Ma si tratta di limiti sicuramente più complessi tipici dei corsi universitari!

Saluti.

[ascaplboh]

E non sarebbe possibile aggiungere qualche video in cui si usano gli "o piccolo" ?

[maurizio.schirinzi]

In futuro saranno sicuramente prodotti alcuni video di esempio sull'uso dei simboli di Landau ma al momento non saprei preventivarne i tempi, essendo tra l'altro un argomento meno prioritario.

Tuttavia un consiglio molto semplice è questo: puoi provare ad usare gli "o piccoli" negli stessi esempi dei video indicando con essi la parte restante dello sviluppo di Taylor; ad esempio se "tronchi" lo sviluppo al termine di secondo ordine scriverai i restanti termini dello sviluppo come o(x^2). Porterai avanti questi "oggetti" fino alla fine del calcolo dove poi dovrai semplicemente ignorarli per concludere il limite.

Quindi direi che è una cosa estremamente banale... è più un fatto formale-simbolico che concettuale !!

Saluti.


[EDIT Admin] I Video-Tutorials di Esercizi sugli sviluppi di Taylor con simboli di Landau sono ora disponibili al seguente indirizzo:
Analisi 1 >> Limiti >> Calcolo di Limiti >> Limiti Vari con tecniche di Sviluppi di Taylor >> Sviluppi di Taylor con simboli di Landau

[ascaplboh]

Quindi l'unica differenza sta nell'aggiungere o(x^n) alla fine dello sviluppo dove n sta ad indicare il grado a cui mi fermo affinchè non abbia lo zero algebrico?

[maurizio.schirinzi]

SI !! ... proprio cosi !! ... niente di fanta-matematico !!

[ascaplboh]

Ma gli sviluppi di Taylor si possono sempre applicare? O solo con alcune forme indeterminate e punti di accumulazione?

[maurizio.schirinzi]

Gli sviluppi di Taylor si possono applicare nell'intorno di punti al finito dove la funzione che si vuole approssimare verifica tutte le ipotesi del teorema di Taylor che garantisce l'esistenza del polinomio di Taylor di ordine "n" approssimante la funzione e cioè:
f derivabile nel punto x° fino all'ordine n e con derivata n-esima continua (o come si dice anche "funzione di classe C^n")!!

Saluti.

[ascaplboh]

Ho una domanda riguardo il primo video dei limti con gli sviluppi di Taylor.
Nel momento in cui sostituisco a sen²(x) il seguente sviluppo:
(x-x³/6+o(x³) ) ², devo fare il quadrato di un trinomio dato che ho aggiunto anche o(x³) ?

[maurizio.schirinzi]

Si!! ... è proprio questo l'appesantimento dei passaggi di cui dicevo in uno dei miei post precedenti!
E' ovvio che mentre si calcola il quadrato del trinomio tutti i termini di grado superiore al grado di approssimazione scelto si possono tranquillamente trascurare subito, cosi quindi ad esempio un o(x^4) è trascurabile rispetto ad un o(x^2) e cosi via... mantenendo quindi in gioco nei calcoli solo gli "o piccoli" di grado più dominante rispetto agli altri, per sfoltire un po i calcoli, e poi alla fine comunque trascurare anche gli ultimi "o piccoli".
Ecco quindi (a mio parere) l'inutilità a livello pratico di questa simbologia che invece risulta fondamentale nella teoria per giustificare i ragionamenti teorici formali come ad esempio nelle dimostrazioni dei teoremi!

Ciao.

[ascaplboh]

Grazie!
Scusami se insisto sempre sulle stesse cose! Ma ho trovato un esercizio del mio prof. in cui al cos(x) sostituisce : cosx = 1 -x²/2! + x^4/4! + o( x^6)


Io invece ci avrei sostituito a cos(x) questo: cosx = 1 -x²/2! + x^4/4! + o( x^4) perchè mi sono fermato al quarto ordine.

[maurizio.schirinzi]

Le due sostituzioni sono del tutto identiche!! ... è solo una questione di simbologia e convenzioni di preferenza dei prof.; infatti scrivere cos(x) = 1 -x²/2! + x^4/4! + o( x^6) oppure cos(x) = 1 -x²/2! + x^4/4! + o( x^4) i termini dopo x^4/4! sono gli stessi e sono trascurabili rispetto al termine di x^4. Si tratta di termini successivi a partire dal grado 6 nello sviluppo del coseno (quello di 5° non c'è) e questi termini si possono indicare sia con il simbolo o(x^4) che significa "termini trascurabili rispetto a x^4" oppure con il simbolo o(x^6) che significa "termini a partire dal grado 6° trascurabili rispetto a x^4".
Io preferisco la prima notazione o(x^4) che, a mio parere, è più chiara perchè dice rispetto a che cosa quegli "o piccoli" sono trascurabili. Altri prof. preferiscono l'altra convenzione.

Saluti.

[ascaplboh]

In un altro limite sviluppa il cos(x)=1-x²/2 +x^4/4! +o(x^5)


Sinceramente non riesco a capire come li mette questi o piccoli! Li mette a casaccio secondo me!


[maurizio.schirinzi]

NO!! ... non li mette a casaccio ma è solo che il tuo prof. non usa una notazione "standard" con il suo stesso modo di pensare (per intenderci fa un pò come gli tira!) ... infatti scrivere cos(x)=1-x²/2 +x^4/4! +o(x^5) oppure cos(x)=1-x²/2 +x^4/4! +o(x^6) nel caso del coseno è la stessa cosa perché il termine di grado dispari 5° non c'è o meglio il suo coefficiente è zero; dunque nel primo caso scrive o(x^5) partendo da quel termine di grado 5° (anche se è zero) mentre nel secondo caso scrive o(x^6) ignorando il termine di grado 5 che è zero e considerando trascurabili solo i termini successivi a partire dal primo che è veramente disponibile per il coseno e cioè quello di grado 6°.
Ecco perché io preferisco la mia notazione standard che esprime semplicemente rispetto a chi trascuro tutto il resto e quindi io scriverei o(x^4).

Saluti.

[ascaplboh]

Nel momento in cui ho :
1/36x^6 -x^4/3 +o(x^4)


e voglio mettere in evidenza x^4, o piccolo come diventa ?

[maurizio.schirinzi]

Innanzi tutto premesso ovviamente che la x tende a zero, l'espressione da te scritta ha qualcosa che non va! ... infatti il termine x^6 sarebbe quello più trascurabile e quindi la simbologia o(x^4) non ha molto senso! ... lo sviluppo di Taylor sarebbe da troncare al termine x^6 e quindi semmai ci dovrebbe essere un o(x^6) al posto di o(x^4) !!

Per rispondere alla tua domanda uso il seguente esempio più significativo: \[{x^2} + {x^3} + o({x^3}) = {x^2}\left[ {1 + \frac{{{x^3}}}{{{x^2}}} + \frac{{o({x^3})}}{{{x^2}}}} \right] = {x^2}\left[ {1 + x + o(x)} \right]\]
Si ricordi inoltre che per x-->0 sono "dominanti" sempre i termini di grado più basso, mentre per x-->infinito sono "dominanti" quelli di grado più alto, ma ovviamente Taylor per x-->infinito non ha senso e occorrerebbe fare un cambio di variabile per ottenere una variabile che tende ad un punto al finito!

Saluti.