Ok!! ... ora è più chiaro! ... dunque quell'espressione non è solo lo sviluppo di Taylor di un termine ma deriva dall'insieme di altri termini?!!
Bene! ... allora per rispondere meglio alla tua domanda ti faccio il seguente esempio: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} - se{n^2}(x)}}{{{x^4}}} = \left[ {\frac{0}{0}} \right]\] sviluppando il seno con Taylor all'ordine 3° e indicando (come fa il tuo prof.) i termini trascurabili a partire dal 4° grado con o(x^4) si ha: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} - se{n^2}(x)}}{{{x^4}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} - {{[x - \frac{1}{6}{x^3} + o({x^4})]}^2}}}{{{x^4}}} = \] da cui sviluppando il quadrato del trinomio si ha: \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} - [{x^2} + \frac{1}{{36}}{x^6} + {o^2}({x^4}) - \frac{1}{3}{x^4} + 2xo({x^4}) - \frac{1}{3}{x^3}o({x^4})]}}{{{x^4}}} = \] e facendo attenzione alle operazioni sugli "o piccoli" si noti che:
\[\begin{array}{l}
{o^2}({x^4}) = o({x^8})\\
2xo({x^4}) = o({x^5})\\
\frac{1}{3}{x^3}o({x^4}) = o({x^7})
\end{array}\] da cui ne segue:
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} - {x^2} - \frac{1}{{36}}{x^6} - o({x^8}) + \frac{1}{3}{x^4} - o({x^5}) + o({x^7})}}{{{x^4}}} = \] e trascurando i termini a partire dal grado 6° in su si ha: \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{1}{3}{x^4} - o({x^5})}}{{{x^4}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^4}[\frac{1}{3} - \frac{{o({x^5})}}{{{x^4}}}]}}{{{x^4}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} [\frac{1}{3} - \frac{{o({x^5})}}{{{x^4}}}] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} [\frac{1}{3} - o(x)] = \frac{1}{3}\]
E' evidente che un limite semplice come questo non richiede l'appesantimento del calcolo mediante l'uso dei simboli di Landau; è sufficiente approssimare con Taylor il seno fino all'ordine 3° e quindi svolgere solo il quadrato del binomio e concludere il limite; ecco i passaggi più veloci e più eleganti: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} - se{n^2}(x)}}{{{x^4}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} - {{[x - \frac{1}{6}{x^3}]}^2}}}{{{x^4}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} - [{x^2} - \frac{1}{3}{x^4} + \frac{1}{{36}}{x^6}]}}{{{x^4}}} = \] \[\mathop { = \lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} - {x^2} + \frac{1}{3}{x^4} - \frac{1}{{36}}{x^6}}}{{{x^4}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{1}{3}{x^4} - \frac{1}{{36}}{x^6}}}{{{x^4}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^4}[\frac{1}{3} - \frac{1}{{36}}{x^2}]}}{{{x^4}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} [\frac{1}{3} - \frac{1}{{36}}{x^2}] = \frac{1}{3}\]
Come vedi purtroppo i prof. universitari amano complicare le cose ove non necessario!!
Saluti.
