Dominio di funzione logaritmica

[pab]

Salve, come spiegato nella presentazione qualche settimana fa, ho 47 anni e sono un semplice appassionato di matematica.
Sono giunto su questo sito perchè mi serviva un ripassone poichè un amico conoscendo la mia passione mi ha praticamente costretto ad aiutare il figlio che a giugno sarà alle prese con la maturità scientifica.
Ho aperto questo topic per avere un chiarimento circa il dominio della seguente funzione logaritmica che ho trovato in rete:
\[f(x)=\frac {(x-1)}{ln(x^2(x-1))}\]
ora in quanto funzione logaritmica, x dovrà essere maggiore di 1, valore per il quale si annulla l'espressione nell'argomento.
Fin qui dovrebbe essere corretto, il problema sorge quando devo considerare il denominatore diverso da 0, quindi se ragiono bene, l'argomento del logaritmo deve essere anche diverso da 1; visto che il logaritmo di 1 in qualsiasi base è =0.
Come me la cavo con l'equazione?
\[x^2(x-1)=1\]
Wolfram alpha mi restituisce il risultato di circa 1,46557, ma come faccio a studiare la singolarità in quel punto? non posso fare un limite per x che tende a 1,46557...!
Spero di essere stato chiaro e di non aver scritto assurdità, siate comprensivi non ho fatto le superiori tutto quello che so l'ho imparato da solo.
Grazie
Paolo

[maurizio.schirinzi]

Ciao, l'equazione è ovviamente un'equazione di 3° grado non risolvibile con tecniche algebriche (non ci sono radici di Ruffini!) \[{x^2}(x - 1) = 1\;\; \to \;\;{x^3} - {x^2} - 1 = 0\] occorre pertanto ragionare graficamente riscrivendo l'equazione cosi : \[{x^2} = \frac{1}{{x - 1}}\] e intersecando i grafici delle due funzioni a primo e secondo membro; il primo membro è l'ovvia parabola con vertice nell'origine e il secondo membro una iperbole equilatera riferita ai propri asintoti traslata verso destra di 1 (asintoto verticale x=1). \[\left\{ \begin{array}{l} y = {x^2}\\ y = \frac{1}{{x - 1}} \end{array} \right.\] Rappresentando graficamente le due funzioni si ottiene un solo punto di intersezione a destra dell'asintoto (circa 1,46...) quindi maggiore di 1 (come si evince sempre dal grafico). Chiamando questo punto simbolicamente \({x_0}\) e ricordando che è >1 e che si tratta del punto di verifica dell'equazione dove l'argomento del logaritmo vale 1 e quindi si azzera il denominatore della funzione possiamo scrivere:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{x - 1}}{{\ln ({x^2}(x - 1))}} = \frac{{{x_0} - 1}}{{[0]}} = \infty \] si noti che il numeratore è positivo perchè \({x_0}\) > 1; per analizzare le tendenze del segno dell'infinito basterà ragionare sempre nell'intorno di \({x_0}\) sul grafico per capire che dove la parabola è sopra l'iperbole (a destra di \({x_0}\)) l'argomento del logaritmo tende a \({1^ + }\) ... perchè sarebbe verificata "graficamente" la disequazione \({x^2}(x - 1) > 1\) ... mentre dove la parabola è sotto l'iperbole (a sinistra di \({x_0}\)) l'argomento del logaritmo tende a \({1^ - }\) ... perchè sarebbe verificata "graficamente" la disequazione \({x^2}(x - 1) < 1\); con queste informazioni possiamo calcolare il limite destro-sinistro per x che tende al punto \({x_0}\) nel seguente modo: \[\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \frac{{x - 1}}{{\ln ({x^2}(x - 1))}} = \frac{{{x_0} - 1}}{{{0^ + }}} = + \infty \;\;\;({x_0} > 1)\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } \frac{{x - 1}}{{\ln ({x^2}(x - 1))}} = \frac{{{x_0} - 1}}{{{0^ - }}} = - \infty \;\;\;({x_0} > 1)
\end{array}\]
in allegato il confronto grafico delle due funzioni.

Saluti.

[pab]

Grazie mille per la spiegazione, chiara ed esauriente come al solito, ho solo il dubbio su come andrebbe dichiarato formalmente quel punto nel dominio della funzione, sarebbe corretta in questo modo?:
\[D=]1,+\infty[- \left \{ 1.46557 \right \}\]

[maurizio.schirinzi]

E' sufficiente scrivere simbolicamente e senza introdurre calcoli numerici cosi : \[{D_f} = ]1, + \infty [ - \{ \;{x_0}:\;\ln (x_0^2({x_0} - 1) = 0\;,\;{x_0} > 1\;\} \]
Saluti.

[pab]

Tutto chiaro, grazie mille