Come risolvere questo limite? (problema a numeratore!)

[M1CH3L3]

Allora qualcuno può aiutarmi nella risoluzione di questo limite che va risolto con lo sviluppo in serie di taylor e che è questo:
lim (ln(1+x^(tanx/2))+cosx-1/(xtanx-sin(x^2)) x->0 grazie in anticipo

[maurizio.schirinzi]

Ciao, prima di tutto sei sicuro che il testo sia esatto? ... io lo interpreto cosi: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\ln (1 + {x^{\frac{1}{2}tg(x)}}) + \cos (x) - 1}}{{x\,tg(x) - sen({x^2})}}\]
se il limite è questo c'è qualcosa che non va al numeratore perchè non ci sarebbe la forma indeterminata 0/0 che ci si aspetta!
Infatti analizzando a parte la tendenza del termine \({{x^{\frac{1}{2}tg(x)}}}\) dentro al logaritmo si ha:
\[\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {x^{\frac{1}{2}tg(x)}} \cong \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {x^{\frac{1}{2}x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {e^{\ln ({x^{\frac{1}{2}x}})}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {e^{\frac{1}{2}x\ln (x)}} = \\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {e^{\frac{1}{2}\frac{{\ln (x)}}{{1/x}}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } {e^{\frac{1}{2}\frac{{\ln (1/t)}}{t}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } {e^{ - \frac{1}{2}\frac{{\ln (t)}}{t}}} = {e^0} = 1
\end{array}\]
pertanto l'argomento del logaritmo tenderebbe a 1+1 =2 cioè a numeratore avresti ln(2)+cos(x)-1 che non tende complessivamente a zero come ci si aspetterebbe da un limite di questo tipo! .. in tal caso il numeratore tenderebbe a ln(2) e con il denominatore che tende a zero avresti il limite complessivo che tendente a infinito!

Inoltre il limite dovrebbe essere per x-->0+ perchè per x -->0- non può esistere per ovvi motivi di campo di esistenza dell'esponenziale a base variabile.

Per favore controlla prima bene il testo e ti prego di utilizzare lo strumento Equation Editor integrato nell'editor del Forum (o altro programma esterno compatibile con il linguaggio LaTex come ad es. MathType) per scrivere bene le formule in modo che siano più comprensibili a tutti e gli utenti siano più disponibili a rispondere ai post.

Resto in attesa dell'eventuale testo esatto.

Grazie.

[maurizio.schirinzi]

Ciao, dall'allegato che mi hai mandato nel messaggio privato risultava quindi un errore nel testo come pensavo! ...
Ecco il testo giusto e lo svolgimento del limite con gli sviluppi di Taylor-Landau :
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln {\mkern 1mu} (1 + x{\mkern 1mu} tg(\frac{x}{2})) + \cos (x) - 1}}{{x{\mkern 1mu} tg(x) - sen({x^2})}} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln {\mkern 1mu} (1 + x{\mkern 1mu} (\frac{1}{2}x + o({x^3})) + 1 - \frac{1}{2}{x^2} + o({x^4}) - 1}}{{x{\mkern 1mu} (x + \frac{1}{3}{x^3} + o({x^5}) - ({x^2} - \frac{1}{6}{x^6} + o({x^{10}}))}} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln {\mkern 1mu} (1 + \frac{1}{2}{x^2} + o({x^4})) - \frac{1}{2}{x^2} + o({x^4})}}{{{x^2} + \frac{1}{3}{x^4} + o({x^6}) - {x^2} + \frac{1}{6}{x^6} - o({x^{10}})}} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{1}{2}{x^2} + o({x^4}) - \frac{1}{2}{{(\frac{1}{2}{x^2} + o({x^4}))}^2} - \frac{1}{2}{x^2} + o({x^4})}}{{\frac{1}{3}{x^4} + o({x^6})}} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{o({x^4}) - \frac{1}{2}(\frac{1}{4}{x^4} + o({x^6}) + o({x^8})) + o({x^4})}}{{\frac{1}{3}{x^4} + o({x^6})}} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{o({x^4}) - \frac{1}{8}{x^4} - o({x^6}) - o({x^8}) + o({x^4})}}{{\frac{1}{3}{x^4} + o({x^6})}} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - \frac{1}{8}{x^4} + o({x^4})}}{{\frac{1}{3}{x^4} + o({x^6})}} = \frac{{ - \frac{1}{8}}}{{\frac{1}{3}}} = - \frac{3}{8}\]
Saluti.

[M1CH3L3]

Grazie mille prof.! io l'avevo interpretato nella forma dove c'è la parte del numeratore che tende al log2 .