Ciao, \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2\cos (sen(x))\ln (arcsen(x) - arctg(x) + 1)}}{{t{g^3}(x)}} = [\frac{0}{0}]\]
questo tipo di limiti richiede l'uso delle tecniche di Taylor-Landau poichè con l'uso dei limiti notevoli si ricascherebbe sempre in una forma indeterminata; infatti i limiti notevoli altro non sono che l'approssimazione "più grossolana" di Taylor al 1° ordine.
Questo limite, a causa dei confronti "più fini" necessari nei termini presenti, richiede le approssimazioni di quei termini all'ordine superiore mediante gli sviluppi di Taylor di arcosen(x), arctg(x) al 2° ordine, tg(x) al 1° ordine ed infine, nei passaggi finali, lo sviluppo del ln(x) al 1° ordine.
Si ottiene dunque:
\[{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2\cos (sen(x))\ln (arcsen(x) - arctg(x) + 1)}}{{t{g^3}(x)}} = }\]
\[{ = \mathop {\lim {\mkern 1mu} }\limits_{x \to 0} [2\cos (sen(x))]\cdot\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (arcsen(x) - arctg(x) + 1)}}{{t{g^3}(x)}} = }\]
\[{ = 2\cdot\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln ([x + \frac{1}{6}{x^3} + o({x^5})] - [x - \frac{1}{3}{x^3} + o({x^5})] + 1)}}{{{{[x + o({x^3})]}^3}}} = }\]
\[ = 2\cdot\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (x + \frac{1}{6}{x^3} - x + \frac{1}{3}{x^3} + o({x^5}) + 1)}}{{{{[x + o({x^3})]}^3}}} = \]
\[ = 2\cdot\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + \frac{1}{2}{x^3} + o({x^5}))}}{{{x^3} + 3{x^2}o({x^3}) + 3x{{(o({x^3}))}^2} + {{(o({x^3}))}^3}}} = \]
\[ = 2\cdot\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + \frac{1}{2}{x^3} + o({x^5}))}}{{{x^3} + 3{x^2}o({x^3}) + 3xo({x^6}) + o({x^9})}} = \]
\[ = 2\cdot\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + \frac{1}{2}{x^3} + o({x^5}))}}{{{x^3} + o({x^5}) + o({x^7}) + o({x^9})}} = \]
\[{ = 2\cdot\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{1}{2}{x^3} + o({x^5})}}{{{x^3} + o({x^5})}} = 2\cdot\frac{1}{2} = 1}\]
Ti prego in futuro di provare con più calma ad utilizzare l'equation editor, o se preferisci un programma esterno come MathType, che produce il codice LaTex da incollare direttamente nei post di questo forum pienamente compatibile con la tecnologia LaTex.
Saluti.
PS: Poichè questo topic è relativo all'applicazione delle tecniche di calcolo dei limiti con gli sviluppi di Taylor-Landau, lo User Admin provvederà a spostarlo nella sezione del forum più appropriata modificandone il titolo in "Esercizio di calcolo di un limite con gli sviluppi di Taylor-Landau" al fine di garantirne una più corretta indicizzazione da parte dei motori di ricerca.
da stefania91 » 18/06/2013, 10:20 
